2. Экстремумы функции.

На рисунке 30 изображен график непрерывной функции Значение функции в точке не является наибольшим на отрезке но если ограничиться сравнением со значениями функции в точках, «близких» к то окажется, что больше всех этих значений. Иными словами, существует такая окрестность точки что для любого выполняется неравенство Говорят, что функция имеет в точке (локальный) максимум.

В точке функция принимает значение, меньшее значений функции в точках, «близких» к . В таких случаях говорят, что функция в точке имеет (локальный) минимум. Значит,

Рис. 30

функция имеет минимум в точке и максимум в точке

Терминам «максимум», «минимум» мы придаем лишь локальный смысл. Свойство быть точкой максимума или точкой минимума функции зависит лишь от поведения функции в некоторой достаточно малой окрестности точки.

Теперь дадим точное определение этих понятий.

Определение. Пусть функция , определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в этой точке. Тогда называется точкой максимума функции, если существует ее окрестность, в которой выполняется неравенство (причем знак равенства имеет место лишь в случае

Аналогично определяется точка минимума функции.

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Определение точек максимума и минимума можно дать иначе, используя понятие «приращение функции». Из рисунка 30 видно, что в точке максимума при достаточно близких к нулю значениях Да: имеем (как в случае, когда так и в случае, когда а в точке минимума при достаточно близких к нулю значениях Да; имеем , причем лишь в случае, когда

Обратимся снова к рисунку 30. Замечаем, что в точках экстремума касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, т. е. в каждой из этих точек . В точке же касательную провести нельзя, значит, в этой точке производная не существует. Это наблюдение позволяет предположить, что если функция

Рис. 31

Рис. 32

, имеет экстремум в точке , то в этой точке производная данной функции либо не существует, либо равна нулю.

Геометрически это означает, что в точке экстремума касательная к графику функции либо горизонтальна (рис. 31), либо не существует (рис. 32).

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называют критическими, а точки, где производная равна нулю, — стационарными.

Следует иметь в виду, что не всякая стационарная точка является точкой экстремума. Например, функция монотонна, но имеет стационарную точку (см. рис. 11). Точно так же не всякая точка, где не существует производной, является точкой экстремума (см. рис. 13).

Таким образом, множество точек экстремума функции — подмножество множества ее критических точек вообще говоря, не совпадающее с ним.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определения возрастающей и убывающей функций.

2. Как связан характер монотонности функции со знаком производной? Сделайте геометрическое и физическое обоснование этой связи.

3. Как определяется точка максимума функции?

4. Можно ли утверждать, что в точке максимума функция имеет наибольшее значение? Приведите примеры.

5. Как определяется точка минимума?

6. Можно ли утверждать, что в точке минимума функция имеет наименьшее значение? Приведите примеры.

7. Что такое стационарная точка? Что такое критическая точка?

8. Можно ли утверждать, что всякая критическая точка является точкой экстремума? Поясните свой ответ примерами.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)