2. Правило Лопиталя.

Теорема 1. Пусть функции непрерывны в точке а, дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки а (т. е. дифференцируемы во всех точках окрестности, за исключением, быть может, самой точки а) и обращаются в нуль в точке а Пусть, кроме того, обращается в нуль ни в какой точке проколотой окрестности точки а.

Тогда если существует то существует и причем эти пределы равны:

Доказательство. Используем теорему Коши. Заметим прежде всего, что функции удовлетворяют условиям теоремы Коши на каждом из промежутков лежащих в проколотой окрестности точки а. Рассмотрим отношение и преобразуем его так, чтобы можно было использовать формулу (2) Коши.

Рассмотрим случай, когда Вычтем из числителя и знаменателя дроби соответственно,

Так как по теореме Коши

где

При имеем , и так как по условию существует то существует и предел причем эти пределы равны. Заменив в первом пределе с на получим:

что и требовалось доказать.

Аналогично рассматривается случай, когда

Теорема 2. Пусть функции дифференцируемы на луче причем , и пусть Если существует то существует и причем эти пределы равны:

Доказательство. Положим Тогда

Имеем:

Для вычисления предела воспользуемся теоремой 1. Получим:

Теорема доказана.

В этих теоремах мы рассмотрели случаи раскрытия неопределенности вида когда а и когда Аналогично обстоит дело и в случае, когда Заметим, что проведенные доказательства сохраняют свою силу и в том случае, когда равен или где а — число или один из символов или Теперь мы рассмотрим вопрос о раскрытии неопределенности вида Начнем со случая, когда

Теорема 3. Пусть функции дифференцируемы на луче причем , и пусть Тогда если существует то существует и причем

Доказательство. Возьмем произвольное положительное число По условию существует положим Тогда по определению предела найдется такое число что для выполняется неравенство

Не ограничивая общности рассуждений, мы можем считать, что Тогда из следует а на луче по условию функции дифференцируемы

Пусть Применив к отрезку теорему Коши, получим:

Так как то, воспользовавшись неравенством (3), получим:

откуда

Так как -числа, а по условию то для достаточно больших значении дробь сколь угодно мало отличается от дроби . Но тогда существует такое число М, что для дробь заключена между

Итак, для любого существует число М такое, что для . выполняется неравенство (5), а это и означает, что

Замечание 1. Теорема сохраняет свою силу и в случае, когда . В этом случае а тогда и Отсюда следует, что т. е.

Замечание 2. Теорема справедлива и в случае , где а — число. Для доказательства достаточно положить Если то и теорема сводится к уже доказанной. Теоремы 1, 2, 3 называют правилом Лопиталя.

Рассмотрим примеры применения правила Лопиталя для вычисления пределов функций.

Пример 2. Вычислим

Решение. Здесь имеем неопределенность вида Воспользовавшись правилом Лопиталя, можем записать:

Разумеется, используя здесь и в дальнейшем подобную краткую запись, мы предполагаем, что все условия соответствующей данному случаю теоремы выполнены и, в частности, что предел отношения производных существует.

Пример 3. Вычислим

Решение. Здесь имеем неопределенность вида

Применив правило Лопиталя, получим:

Так как то и потому дробь ограничена: она не превосходит число 1.

С другой стороны, при стремится к как сумма бесконечно большой функции и ограниченной функции Поэтому

Иногда при вычислении пределов с помощью правила Лопиталя получается, что снова представляет собой неопределенность вида . В таком случае, если выполняются условия соответствующих теорем, можно еще раз применить правило Лопиталя, заменив отношение функций отношением их производных, т. е. выражением

Пример 4. Вычислим

Решение. Имеем неопределенность вида . Воспользуемся правилом Лопиталя:

Снова получилась неопределенность вида Условия теоремы 3 выполняются. Применим к полученному выражению еще раз правило Лопиталя:

Итак,

Заметим, что раскрывая неопределенности по правилу Лопиталя, следует помнить и те способы раскрытия неопределенностей, с которыми мы знакомились в разделе «Введение в анализ». Например, во многих случаях дифференцирование, которое мы применяем по правилу Лопиталя, приводит к более простым выражениям, если предварительно заменить бесконечно малую эквивалентной бесконечно малой или выполнить необходимые упрощения.

Пример 5. Вычислим

Решение. Так как при , то , следовательно,

Имеем неопределенность вида Применив правило Лопиталя, получим:

Снова имеем неопределенность вида и вновь применим правило

Лопиталя. Но прежде чем перейти к повторному дифференцированию, воспользуемся тем, что Получим:

Пример 6. Вычислим

Решение. Данный предел представляет собой неопределенность вида Однако правило Лопиталя не может быть к нему применимо, так как предел отношения производных, т.е. не существует. Для вычисления предела разделим числитель почленно на знаменатель:

Так как

Итак,

Неопределенности вида или легко приводятся к виду обычно это достигается с помощью элементарных преобразований заданного выражения.

Пример 7. Вычислим

Решение. Здесь мы имеем неопределенность вида Сведем ее к виду , для чего достаточно привести выражение к одному знаменателю. Получим

Для вычисления -воспользуемся тем, что при Значит,

К последнему пределу применим правило Лопиталя. Получим:

Пример 8. Вычислим

Решение. Здесь имеем неопределенность вида Чтобы свести ее к виду воспользуемся тем, что после этого применим правило Лопиталя.

Имеем:

Получили неопределенность вида Снова применим правило Лопиталя:

Так как опять получилась неопределенность вида в третии раз применим правило Лопиталя:

Итак,

Рассмотрим примеры раскрытия неопределенностей видов:

Пример 9. Вычислим

Решение. Этот предел представляет собой неопределенность вида . Для вычисления заданного предела поступим так: найдем сначала предел логарифма данной функции, а затем воспользуемся тем, что для непрерывной и принимающей только положительные значения функции справедливо равенство

Итак, найдем предел логарифма данной функции:

Значит,

Пример 10. Вычислим

Решение. Имеем неопределенность Найдем скачала предел логарифма данной функции:

Значит,

3. Сравнение быстроты роста функций. Пусть при функции неограниченно возрастают, стремясь к бесконечности. Говорят, что функция быстрее стремится к бесконечности (или имеет больший порядок роста), чем функция если Если же то говорят, что функция медленнее стремится к бесконечности, чем функция Аналогично можно сравнивать быстроту роста функций при и при

Пример 11. Сравним рост показательной функции и степенной функции

Решение. Сто раз воспользовавшись правилом Лопиталя, получим:

Этот результат говорит о том, что показательная функция растет быстрее степенной функции Аналогично можно показать, что показательная функция при растет быстрее любой степенной функции где

Пример 12. Сравним рост логарифмической функции и степенной функции где

Решение. Имеем:

Полученный результат говорит о том, что логарифмическая функция при растет медленнее любой степенной функции.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте теорему Коши.

2. Поясните, почему теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши.

3. К раскрытию неопределенностей какого вида применимо правило Лопиталя?

4. Поясните смысл выражения «при функция стремится к бесконечности быстрее (медленнее), чем функция

5. Даны три функции: показательная логарифмическая и степенная Какая из них при имеет наибольший порядок роста, а какая — наименьший?

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)