7. Построение кривых, заданных параметрическими уравнениями.

Пусть кривая Г задана параметрическими уравнениями

Предположим, что, за исключением конечного числа точек функции дифференцируемы и их производные непрерывны и отличны от нуля (этот случай чаще всего встречается на практике). В интервалах производные сохраняют знак (так как они непрерывны и не равны нулю) и, следовательно, функции строго монотонны. Доказанное соображение позволяет усмотреть ход кривой на этих участках. Дальнейшее исследование сводится изучению кривых вблизи точек

Например, если то в точке касательная вертикальна и т. д.

Остановимся на отыскании асимптот параметрически заданной кривой. Сначала находим бесконечные ветви кривой Г. Для этого отыскиваем значения параметра такие, что при приближении к слева или справа или стремится к бесконечности (такими значениями могут быть, в частности, или

Если то прямая является

горизонтальной асимптотой для кривой Г. Если то прямая — вертикальная асимптота для Г. Наконец, если причем существуют пределы

то прямая является наклонной асимптотой для Г. Аналогично разбираются случаи, когда

Пример 8. Проведем исследование и построим параметрически заданную кривую

Решение. 1) Функции существуют на промежутках

2) Определим точки, в которых обращаются в нуль или бесконечность:

(см. скан)

то внутри каждого из них производные будут конечны и постоянного знака, и потому сами функции монотонны в указанных промежутках, а именно:

3) Вычислим на концах промежутков значения или, если таковые отсутствуют, их предельные значения:

Пункты 2) и 3) иллюстрируются следующей таблицей:

4) Так как х и у обращаются в нуль при то кривая имеет точку самопересечения в начале координат.

5) Выясним, наконец, вопрос об асимптотах кривой. Как легко видеть, кривая уходит в бесконечность лишь при При этом

Следовательно, прямая является единственной асимптотой для данной кривой.

Во второй и третьей колонках таблицы показано, как изменяется абсцисса и ордината у точек заданной кривой в зависимости от изменения Учитывая эту связь и пункт 4, можно построить график данной функции (рис. 95).

В точке касательная параллельна оси абсцисс, а в точке ; а — оси ординат.

Рис. 95