2. Геометрические приложения производной.

Пусть функция дифференцируема в точке — точка графика этой функции. Составим уравнение касательной к кривой в точке где

Из аналитической геометрии известно уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент

Так как угловой коэффициент касательной в точке равен то уравнение касательной к графику функции в данной точке имеет вид:

где

Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная касательной, называется нормалью к линии в данной точке. Так как угловые коэффициенты двух взаимно перпендикулярных прямых связаны соотношением то угловой коэффициент нормали равен . Следовательно, уравнение нормали таково:

Углом между линиями в точке их пересечения называется угол между касательными к этим линиям в данной точке.

Выведем формулу для тангенса угла между двумя линиями. Пусть линии пересекаются в точке касательная к линии в точке образует с осью абсцисс угол а, а касательная к линии — угол (рис. 16).

Если у — угол между касательными, то внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним). Тогда

Рис. 16

Но есть угловой коэффициент касательной к линии в точке потому Аналогично, Значит,

Разумеется, можно вместо угла у взять смежный с ним угол. Тогда в правой части формулы (3) изменится знак, т. е. уменьшаемое и вычитаемое в числителе дроби поменяются местами.

Пример 1. Найдем величину угла, который образует с осью абсцисс график функции в начале координат.

Решение. Имеем Значит, т. е. угловой коэффициент касательной к графику в точке (0; 0) равен 0. Тогда т. е. величина искомого угла а равна 0. Линия касается оси абсцисс в начале координат (см. рис. 11).

Замечание. Выше мы видели, что график функции касается оси ординат в точке (см. рис. 6). В только что рассмотренном примере получили, что график функции касается оси абсцисс в точке

Вообще график функции в точке касается оси ординат, если и оси абсцисс, если при имеем функцию графиком которой является биссектриса угла между осью абсцисс и осью ординат (рис. 17).

Пример 2. Найдем величину угла между параболой и гиперболой в точке их пересечения (рис. 18).

Решение. Найдем точку пересечения параболы и гиперболы, для чего решим систему уравнений Имеем: Значит, система имеет единственное решение (1; 1).

Так как то По формуле

Рис. 17

Рис. 18

(4) находим:

Значит, величина искомого угла

Пример 3. На параболе найдем точку, в которой нормаль к параболе параллельна прямой Составим уравнение нормали в этой точке.

Решение. Имеем Угловой коэффициент нормали вычисляется по формуле:

Так как нормаль должна быть параллельна прямой то Значит, Поскольку то Итак, искомая точка имеет координаты

Для составления уравнения нормали воспользуемся формулой

Уравнение нормали имеет вид: