2. Инвариантность формы записи дифференциала.
Мы первоначально определили дифференциал функции формулой
а затем, положив по определению 
получили следующую запись:
Переход ко второму виду записи дифференциала делается потому, что формула (5) остается верной и в случае, когда 
— промежуточная переменная, в то время как формула (4) в этом случае становится неверной.
Докажем, что если 
— композиция двух дифференцируемых функций 
то 
Так как 
— независимая переменная, то 
Воспользовавшись формулой производной композиции функций, получим:
Но 
значит, 
Таким образом, форма дифференциала сохранилась: дифференциал функции имеет один и тот же вид как в том случае, когда 
— независимая переменная, так и тогдау когда 
— промежуточная переменная, а именно, он равен произведению производной на дифференциал того аргумента, по которому взята производная.
Следует, однако, иметь в виду принципиальное различие между двумя рассмотренными случаями: если 
— независимая переменная, то 
и потому не зависит от 
если 
— промежуточный аргумент 
то 
и зависит от 
Только в случае, когда 
— линейная функция, 
не зависит от 
Доказанное свойство называют инвариантностью формы 
дифференциала.
Запись 
свойством инвариантности не обладает. Если 
— промежуточная переменная, то 
и потому 
Получившееся выражение отличается от 
слагаемым 
Пример 4. Найдем дифференциал функции 
: 1) в случае, когда 
— независимая переменная; 2) в случае, когда 
Решение. 1) Имеем:
2) Воспользовавшись инвариантностью формы дифференциала, получим:
Далее имеем: 
Вопросы для самопроверки
1. Как определяется композиция функций?
2. Сформулируйте теорему о дифференцируемости сложной функции.
3. Как вычисляется производная сложной функции?
4. Что означает фраза «инвариантность формы дифференциала»?
5. Обладает ли свойством инвариантности формула 
6. Для функций 
вычислите 
если 
Упражнения
(см. скан)
