2. Инвариантность формы записи дифференциала.
Мы первоначально определили дифференциал функции формулой
а затем, положив по определению
получили следующую запись:
Переход ко второму виду записи дифференциала делается потому, что формула (5) остается верной и в случае, когда
— промежуточная переменная, в то время как формула (4) в этом случае становится неверной.
Докажем, что если
— композиция двух дифференцируемых функций
то
Так как
— независимая переменная, то
Воспользовавшись формулой производной композиции функций, получим:
Но
значит,
Таким образом, форма дифференциала сохранилась: дифференциал функции имеет один и тот же вид как в том случае, когда
— независимая переменная, так и тогдау когда
— промежуточная переменная, а именно, он равен произведению производной на дифференциал того аргумента, по которому взята производная.
Следует, однако, иметь в виду принципиальное различие между двумя рассмотренными случаями: если
— независимая переменная, то
и потому не зависит от
если
— промежуточный аргумент
то
и зависит от
Только в случае, когда
— линейная функция,
не зависит от
Доказанное свойство называют инвариантностью формы
дифференциала.
Запись
свойством инвариантности не обладает. Если
— промежуточная переменная, то
и потому
Получившееся выражение отличается от
слагаемым
Пример 4. Найдем дифференциал функции
: 1) в случае, когда
— независимая переменная; 2) в случае, когда
Решение. 1) Имеем:
2) Воспользовавшись инвариантностью формы дифференциала, получим:
Далее имеем:
Вопросы для самопроверки
1. Как определяется композиция функций?
2. Сформулируйте теорему о дифференцируемости сложной функции.
3. Как вычисляется производная сложной функции?
4. Что означает фраза «инвариантность формы дифференциала»?
5. Обладает ли свойством инвариантности формула
6. Для функций
вычислите
если
Упражнения
(см. скан)