2. Исследование функций на экстремум с помощью первой производной.

Рассмотрим такой пример. Прочность балки, которая является основным элементом любой строительной конструкции, зависит от того, какую форму имеет ее поперечное сечение. Инженерные расчеты показывают, что прочность балки с прямоугольным сечением пропорциональна ширине балки а и квадрату ее высоты Иными словами, прочность такой балки равна где — коэффициент, зависящий от длины балки, материала, из которого она сделана, и т. д. Деревянные балки приходится обычно вытесывать из круглых бревен. В связи с этим возникает задача, как из бревна, имеющего радиус сделать балку наибольшей прочности.

Решение этой задачи, как и многих других задач, имеющих большое практическое значение, сводится к отысканию наибольшего (или наименьшего) значения некоторой функции. Эти задачи можно решать с помощью дифференциального исчисления.

В § 1 были введены понятия максимума и минимума функции, там же было сформулировано необходимое условие экстремума, согласно которому функция может иметь экстремум только в точках, где производная равна 0 или где производная не существует. Такие точки объединяются иногда общим названием — точки, «подозрительные» на экстремум.

Однако необходимое условие не является достаточным для существования экстремума. Рассмотрим одно из достаточных условий экстремума.

Теорема 3. Пусть функция определена в точке и пусть существует такое, что функция непрерывна на отрезке дифференцируема на интервалах и производная данной функции сохраняет знак на каждом из этих интервалов.

Если на знаки производной различны, то — точка экстремума, а если совпадают, то не является точкой экстремума. При этом если при переходе через точку производная меняет знак с на то — точка максимума, если же производная меняет знак с на то — точка минимума.

Доказательство. Пусть производная положительна на интервале и отрицательна на Докажем, что -точка максимума функции.

По условию функция непрерывна на отрезке дифференцируема в интервале и всюду в этом интервале имеем Значит, по теореме 1 из функция строго возрастает на отрезке Поэтому из неравенства где следует Аналогично устанавливаем, что функция строго убывает на отрезке а потому из неравенства где следует

Таким образом, в — окрестности точки для точек отличных от выполняется неравенство

Это и означает, что — точка максимума функции

Рассмотрим случай, когда производная не меняет знака при переходе через точку пусть она отрицательна как слева, так и справа от Тогда функция строго убывает как на отрезке так и на отрезке . В таком случае не является точкой экстремума (это точка убывания функции).

Остальные два случая рассматриваются аналогично. Теорема доказана.

Рис. 41

Рис. 42

Условие и утверждение теоремы можно записать в виде таблицы (рис. 41).

Таким образом, чтобы исследовать функцию на экстремум, нужно: 1) найти ее производную; 2) найти критические («подозрительные») точки; 3) рассмотреть окрестность каждой из «подозрительных» точек, не содержащую других «подозрительных» точек, и исследовать знак производной слева и справа от рассматриваемой точки; 4) опираясь на теорему

3, сделать соответствующие выводы.

Заметим, что условия, сформулированные в теореме 3, являются достаточными, но не являются необходимыми для существования экстремума в «подозрительной» точке. Рассмотрим для примера функцию

Найдем производную этой функции в точке Имеем:

Значит, — стационарная точка. Построим график функции. Так как то график будет заключен между параболами причем в любой окрестности точки имеется как бесконечное множество точек графика, лежащих на параболе так и бесконечное множество точек графика, лежащих на параболе (рис. 42). Ясно, что — точка экстремума (минимума), но как слева от точки так и справа от нее производная бесконечное множество раз меняет знак.

Пример 4. Исследуем на экстремум функцию

Решение. Имеем:

Рис. 43

Рис. 44

Рис. 45

Приравняв производную нулю, находим Результаты исследования сведем в таблицу (рис. 43). При переходе через точку производная меняет знак с на значит, в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку производная меняет знак с на значит, в этой точке функция имеет минимум.

Итак, утах На рисунке 44 представлен эскиз графика этой функции.

Пример 5. Исследуем на экстремум функцию

Решение. Найдем производную данной функции:

Приравняв производную нулю, находим стационарные точки: При переходе через точку производная знака не меняет, значит, в точке экстремума нет, при переходе через точку производная меняет знак с на значит, это точка максимума, утах Результаты исследования сведены в таблицу (рис. 45).

На рисунке 46 представлен эскиз графика функции

Пример 6. Исследуем на экстремум функцию

Решение. Найдем производную:

Рис. 46

Рис. 47

Рис. 48

Решив уравнение

получим

Кроме того, в данном случае имеются две точки, в которых производная не существует:

Итак, мы нашли три «подозрительные» точки: Дальнейшее исследование представлено таблицей на рисунке 47. Наша функция имеет три точки экстремума:

На рисунке 48 представлен эскиз графика рассматриваемой функции.