2. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции в точке.

Заметим, что рассмотренные в предыдущем пункте функции были во всех точках одновременно и непрерывны, и дифференцируемы. Не следует, однако, думать, что всякая непрерывная функция дифференцируема.

Пример 1. Покажем, что функция не является дифференцируемой в точке

Решение. Имеем:

Если то . Предположим, что функция дифференцируема в точке т. е. что ее приращение в этой точке можно представить в виде (1). Тогда будем иметь:

где — число, при Если то из равенства (3) получаем:

и потому Если то из равенства (3) получаем:

Рис. 5

Рис. 6

и потому Так как при то из (4) получаем а из (5) получаем Полученное противоречие показывает, что функция не является дифференцируемой в точке

Дадим геометрическое истолкование этого результата. На рисунке 5 представлен график функции Ясно, что «выпрямить» его в точке (т. е. заменить его в достаточно малой окрестности точки некоторой прямой) невозможно — он имеет излом. А дифференцируемость функции в точке, как мы отметили выше, геометрически означает возможность «выпрямления» графика в достаточно малой окрестности рассматриваемой точки.

Пример 2. Покажем, что функция не является дифференцируемом в точке

Решение. Имеем:

В точке получаем Предположим, что функция дифференцируема в точке Тогда

где А — число, а при . Далее имеем:

т. е.

Если то левая часть равенства (6) имеет своим пределом число , тогда как правая часть стремится к Полученное противоречие показывает, что функция не дифференцируема в точке

На рисунке 6 представлен график функции Хотя здесь и происходит «выпрямление» кривой в точке но получаемая прямая не является графиком линейной функции как это имеет место в случае дифференцируемой функции; она перпендикулярна к оси абсцисс. Уравнение этой прямой Итак, существуют функции, непрерывные, но не дифференцируемые

в данной точке. С другой стороны, почти очевидна следующая теорема.

Теорема 2. Если функция , дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

В самом деле, из равенства следует, что а это и означает непрерывность функции в точке

Таким образом, если множество функций, дифференцируемых в каждой точке множества множество функций, непрерывных на X, то причем

Иными словами, множество дифференцируемых функций представляет собой собственное подмножество множества непрерывных функций.