§ 3. ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ И ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

1. Задача о проведении касательной к графику функции. Геометрический смысл производной и дифференциала.

Мы уже упоминали выше о связи понятий производной и касательной к графику функции. Уточним, в чем заключается эта связь. Для этого дадим сначала точное определение понятия касательной к произвольной плоской линии. Касательную нельзя определять как прямую, имеющую лишь

Рис. 9

одну общую точку с рассматриваемой линией. В самом деле, ось (рис. 9) имеет с параболой лишь одну общую точку, ноне касается ее. В то же время прямая имеет бесконечно много общих точек с синусоидой (рис. 10), но касается синусоиды в каждой из этих точек. При определении касательной нельзя исходить и из того, что линия располагается по одну сторону от прямой: ось абсцисс касается кривой в точке (рис. 11), хотя в этой точке кривая переходит с одной стороны оси абсцисс на другую.

Чтобы дать правильное определение касательной, придется использовать понятие предела. Пусть Г — дуга некоторой линии и — точка этой линии. Проведем через точку секущую Если точка приближается по линии к точке то секущая будет поворачиваться вокруг точки Может случиться, что по мере приближения точки к секущая будет стремиться к некоторому предельному положению Тогда называют касательной к линии Г в точке (рис. 12).

Итак, касательной к линии Г в точке называют прямую, к которой стремится секущая когда При этом

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

предельное положение не зависит от того, с какой стороны точка приближается к Утверждение «секущая стремится к прямой когда означает следующее: прямая проходит через точку где — угол между прямыми расстояние между точками

Может случиться, что предельного положения секущей не существует. В этом случае говорят, что в точке нельзя провести касательную к линии Г. Чаще всего это связано с тем, что точка является точкой заострения, излома, самопересечения и т. (рис. 7, 8, 13). Такие точки называют особыми. Для большинства встречающихся на практике линий касательную можно провести почти во всех точках линии. Однако существуют линии, к которым ни в одной точке нельзя провести касательную. Иными словами, для таких линий все точки особые.

Приведем пример линии, ни в одной точке которой нельзя провести касательную. Для этого построим равносторонний треугольник, разделим каждую из его сторон на три конгруэнтных отрезка и на среднем отрезке каждой стороны построим равносторонний треугольник. После этого разделим на три конгруэнтных отрезка каждое звено получившейся ломаной и на каждом среднем отрезке снова построим равносторонний треугольник (рис 14). Продолжая этот процесс до бесконечности, получим в пределе линию, ни в одной точке которой нельзя провести касательную.

Чтобы написать уравнение касательной, достаточно знать координаты точки касания и угловой коэффициент касательной. Для случая, когда линия Г является графиком некоторой функции, отыскание углового коэффициента сводится к вычислению производной.

Возьмем на графике Г функции точку с абсциссой и ординатой Пусть существует касательная к графику Г в точке Возьмем другую точку (см. рис. 12) и проведем через точки прямую. (Не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что Обозначим через Ф угол наклона секущей к положительному направлению оси абсцисс. Тогда

Угол наклона касательной к оси абсцисс обозначим 0. Тогда

Рис. 14

Если 0 Ф то в силу непрерывности функции получим:

Таким образом, для того чтобы к графику функции можно было провести невертикальную касательную в точке с абсциссой , необходимо, чтобы при существовал предел причем этот предел равен угловому коэффициенту касательной. Но указанный предел есть не что иное, как значение производной в точке для функции Дифференцируемость не только необходима, но и достаточна для существования касательной.

Итак, мы доказали следующее утверждение: для того чтобы существовала невертикальная касательная к графику функции в точке с абсциссой необходимо и достаточно, чтобы функция была дифференцируемой в точке Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. В этом состоит геометрический смысл производной.

Обратимся еще раз к рисунку 12. Мы дали абсциссе приращение . Тогда ордината графика функции получила приращение , а ордината касательной получила приращение . Но из треугольника находим:

Таким образом, если — приращение ординаты кривой, то дифференциал есть приращение ординаты касательной. В этом состоит геометрический смысл дифференциала»

Пусть функция непрерывна в точке причем

т. е. функция имеет в точке бесконечную производную. В этом случае линия имеет вертикальную касательную и располагается относительно нее так, как показано на рисунке 6, где изображен график функции для которого ось ординат является касательной в точке

Если

то линия также имеет вертикальную касательную и располагается относительно нее так, как показано на рисунке 15.

Сложнее обстоит дело, если

Рис. 15

а предел

В этом случае график функции в окрестности точки выглядит так, как показано на рисунке 7.

Если же

то график функции в окрестности точки располагается так, как изображено на рисунке 8. Считают, что в таких точках не существует касательной к графику функции.