4. Свойства производной n-го порядка.

а) Производная порядка от суммы конечного числа раз дифференцируемых функций равна сумме производных порядка взятых от каждой слагаемой функции.

Доказательство (для случая суммы двух функций). Пусть дана функция последовательно дифференцируя ее, будем иметь:

Используем метод математической индукции. Предположим, что производная порядка будет

и покажем справедливость нашего предположения для т. е. покажем, что

В самом деле, имеем:

По принципу математической индукции заключаем, что наше утверждение верно для любого натурального

б) Постоянный множитель можно вынести за знак производной порядка

Доказательство предоставляем читателю.

в) Если и и — две функции, имеющие производные до порядка включительно, то

Эта формула носит название формулы Лейбница.

Доказательство формулы Лейбница проведем методом математической индукции. Для формула верна

Предположим, что она верна для т. е. предположим, что

Докажем, что тогда формула верна и для т. е. что

По принципу математической индукции заключаем, что формула (9) справедлива для любого натурального

Для запоминания формулы Лейбница рекомендуем обратить внимание на аналогию формул (9) и (5). Например, для имеем:

Пример 10. Найдем выражение для производной функции

Решение. Имеем:

Подберем коэффициенты А и В так, чтобы выполнялось равенство

Тогда по свойствам а) и б) будем иметь:

Чтобы найти коэффициенты Л и В, освободимся от знаменателей в равенстве (10). Получим:

и далее:

Но два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Это замечание приводит к системе уравнений

решив которую находим:

Итак,

Осталось вычислить производные функций

Пусть

Тогда

Методом математической индукции можно доказать, что

Таким образом, из равенств (11) и (12) получаем:

Пример 11. Найдем для функции

Решение. По формуле Лейбница имеем:

Заметим, что

и все последующие производные функции равны 0. Таким образом,

Далее имеем:

Значит,

Осталось вычислить коэффициенты. Имеем:

Окончательно получим: