§ 7. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

В предыдущих параграфах мы не раз строили графики функций, учитывая те или иные свойства функций. Но в общем случае, ставя перед собой задачу исследовать свойства функций и построить ее график, мы должны иметь план решения такой задачи, схему исследования функции и построения ее графика. Рекомендуем придерживаться следующей схемы:

1. Найдите область определения функции.

2. Исследуйте функцию на периодичность.

3. Исследуйте функцию на четность.

4. Исследуйте поведение функции на границах области определения; найдите точки разрыва и установите характер разрыва, найдите асимптоты.

5. Найдите точки пересечения графика с осями координат и определите интервалы знакопостоянства функции.

6. Исследуйте функцию на экстремум.

7. Исследуйте направление выпуклости графика функции, найдите точки перегиба.

8. Составьте таблицу значений функции для некоторых значений ее аргумента.

9. Используя все полученные результаты, постройте график функции.

Прежде чем переходить к рассмотрению примеров, напомним, как отыскиваются асимптоты графика функции.

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции если выполняется одно из следующих условий:

Прямая является горизонтальной асимптотой графика функции если выполняется одно из следующих условий:

Наконец, для существования наклонной асимптоты графит функции необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела:

Тогда прямая является наклонной асимптотой.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Исследуем функцию и построим ее график.

Решение. 1) Область определения функции:

2) Функция не является периодической.

3) Функция нечетная, так как определена на симметричном множестве и . В самом деле,

Значит, для построения графика функции достаточно исследовать функцию при построить ее график при отобразить его симметрично относительно начала координат.

Таким образом, для дальнейшего исследования ограничиваемся промежутками

4) Имеем:

Рис. 73

Значит, график рассматриваемой функции имеет при вертикальную асимптоту

Далее имеем:

Так как числитель данной дробно-рациональной функции имеет степень, большую степени знаменателя на 1, то существует наклонная асимптота Найдем коэффициенты и

Значит, уравнение наклонной асимптоты таково:

5) График пересекает оси в начале координат, поскольку Других точек пересечения с осью ординат не может быть, а с осью абсцисс в данном случае нет, так как уравнение не имеет других решений, кроме

Отметим интервалы знакопостоянства функции: — здесь функция принимает только отрицательные значения, и — здесь функция принимает только положительные значения.

На рисунке 73 представлена геометрическая иллюстрация тех сведений о графике, которыми мы располагаем к настоящему моменту. Показаны асимптоты, заштрихованы те участки координатной плоскости, где графика нет, отмечена известная точка графика . Это — заготовка для будущего графика.

6) Найдем точки экстремума функции на промежутках Имеем:

На рассматриваемых промежутках у не существует лишь в точке но в этой точке функция не определена. Приравняв производную нулю, находим точку Это — точка минимума (такой вывод можно сделать из геометрических соображений, воспользовавшись рисунком 73). В этой точке имеем

7) Исследуем функцию на выпуклость. Для этого найдем вторую производную данной функции. Имеем:

Рис. 74

Замечаем, что лишь при Значит, внутри промежутков точек перегиба нет. Так как в интервале имеем то на этом интервале функция выпукла вверх; так как в интервале имеем то на этом интервале функция выпукла вниз.

8) Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента:

9) Воспользовавшись полученными результатами, построим график функции (рис. 74).

С помощью построенного графика отметим дополнительно некоторые свойства заданной функции: — точка максимума; — точка перегиба; 3) на луче функция отрицательна, на интервале положительна; 4) область изменения функции:

Пример 2. Исследуем функцию и построим ее график.

Решение. 1) Область определения функции:

2) Функция является периодической, ее основной период равен

3) Функция нечетная, так как

Поскольку период функции равен то достаточно провести исследование только от построить график функции на отрезке и продолжить его, пользуясь периодичностью. Но так как функция является нечетной, то достаточно исследовать функцию и построить ее график на отрезке , затем отобразить его на отрезок симметрично относительно начала координат, а далее уже воспользоваться периодичностью.

Итак, дальнейшие исследования проведем для отрезка .

4) Функция непрерывная и периодическая, следовательно, асимптот график функции не имеет. Найдем значения функции на концах рассматриваемого отрезка . Имеем

5) Найдем точки пересечения графика с осью Для этого решим уравнение Имеем:

На отрезке последнее уравнение имеет два корня: Значит, график функции не пересекает ось абсцисс ни в какой внутренней точке отрезка . В интервале функция принимает только положительные значения.

6) Найдем точки экстремума. Имеем:

Приравняв производную нулю, получим:

Далее имеем:

Из первого уравнения находим из второго получаем

Таким образом, внутри отрезка имеется только одна стационарная точка которая является точкой максимума, так как на концах отрезка функция обращается в нуль, а всюду внутри отрезка — положительна. Найдем значение функции в найденной точке:

7) Исследуем функцию на выпуклость. Имеем:

Приравняв у" нулю и решив полученное уравнение, находим,

При переходе через точку вторая производная меняет знак с на следовательно, эта точка является точкой перегиба графика функции (с выпуклости вниз на выпуклость вверх).

Рис. 75

8) Составим таблицу значений функции для некоторых значений ее аргумента:

9) Пользуясь полученными результатами, построим график функции сначала на отрезке , а затем на всей числовой прямой (рис. 75). Отметим, что при как утак и у" обращаются в нуль. Эта точка является точкой перегиба, причем в ней кривая касается оси абсцисс.

Пример 3. Исследуем функцию и построим ее график.

Решение. 1) Область определения функции:

2) Функция не является периодической.

3) Функция не является ни четной, ни нечетной.

4) Функция непрерывна на всей числовой прямой.

Имеем:

Выясним, имеются ли наклонные асимптоты. Имеем:

Значит, наклонная асимптота есть, ее уравнение таково:

5) Если то т. е. график пересекает ось в начале координат. Для отыскания точек пересечения графика с осью абсцисс решим уравнение

Имеем последовательно:

Отметим интервалы знакопостоянства функции: на и на — функция положительна; на — отрицательна.

На рисунке 76 представлена геометрическая иллюстрация тех сведений о графике, которыми мы располагаем к настоящему моменту. Заштрихованы те участки координатной плоскости, где графика нет, выделены две известные точки графика, проведена наклонная асимптота.

6) Найдем точки экстремума. Имеем:

Находим две точки: где у не существует, и одну стационарную точку Поскольку на интервалах функция положительна, а в точке обращается в нуль, то — точка минимума функции. Поскольку, далее, на концах отрезка [0; 2] функция обращается в нуль, а всюду внутри отрезка принимает положительные значения, то — точка максимума, причем . Наконец, не является точкой экстремума, так как слева от точки функция положительна, справа отрицательна, а в самой точке обращается в нуль.

7) Исследуем функцию на выпуклость. Найдем вторую производную.

Имеем:

Рис. 76

Рис. 77

Рис. 78

Рис. 79

Замечаем, что вторая производная нигде не обращается в нуль и не существует в точках Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала знакопостоянства на имеем — значит, на этом луче функция выпукла вверх; на имеем — значит, на этом интервале функция выпукла вверх; на имеем — значит, на этом луче функция выпукла вниз.

8) Составим таблицу значений функции для некоторых значений ее аргумента:

9) Используя все полученные результаты, строим график функции (рис. 77).

Пример 4. На рисунке 78 изображен график функции Изобразим схематически график ее производной.

Решение. На отрезке функция возрастает, значит, ее производная на этом участке положительна. При этом, так как график функции обращен на интервале выпуклостью вверх, производная убывает от значения до 0 (производная обращается в нуль в точке Так как касательная к графику функции при образует с осью абсцисс

На интервале функция убывает, а потому ее производная отрицательна. В точке производная не существует, причем Значит, при график функции имеет вертикальную асимптоту. При имеем На интервале производная убывает от до нуля. Она на этом интервале положительна, так как функция возрастает. На интервале функция убывает, значит, производная отрицательна. Точкой минимума производной является точка соответствующая точке перегиба графика функции

Используя полученные выводы, изобразим график производной (рис. 79).

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)