6. Производная второго порядка для параметрически заданной функции.
Пусть функция задана параметрическими уравнениями:
Тогда, как мы знаем, 
Таким образом, 
— функция от 
Равенства
выражают 
как параметрически заданную функцию от 
Поэтому
Таким образом, для нахождения производной второго порядка функции, заданной параметрическими уравнениями, нужно продифференцировать по параметру 
первую производную и результат разделить на 
Пример 7. Докажем, что арка циклоиды (см. рис. 86)
Рис. 94
выпукла вверх.
Решение. Имеем:
Значит,
Замечаем, что 
определена для любого 
Далее, по формуле (7) имеем:
Для любого 
, следовательно, для любого 
имеем 
Но тогда кривая является выпуклой вверх.
