6. Производная второго порядка для параметрически заданной функции.

Пусть функция задана параметрическими уравнениями:

Тогда, как мы знаем,

Таким образом, — функция от Равенства

выражают как параметрически заданную функцию от Поэтому

Таким образом, для нахождения производной второго порядка функции, заданной параметрическими уравнениями, нужно продифференцировать по параметру первую производную и результат разделить на

Пример 7. Докажем, что арка циклоиды (см. рис. 86)

Рис. 94

выпукла вверх.

Решение. Имеем:

Значит,

Замечаем, что определена для любого

Далее, по формуле (7) имеем:

Для любого , следовательно, для любого имеем Но тогда кривая является выпуклой вверх.