Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 5. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ НЕРАВЕНСТВ И РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ1. Доказательство неравенств.В настоящем пункте покажем, как используются при доказательстве неравенств такие свойства функций, как строгое возрастание, строгое убывание, выпуклость вверх, выпуклость вниз. Пример 1. Докажем, что для всех
Решение. Составим вспомогательную функцию
Так как при
Значит,
Таким образом, Пример 2. Докажем, что при
Решение. Составим вспомогательную функцию
и найдем ее производную:
Из неравенства (1) следует, что
и, следовательно,
что и требовалось доказать. Неравенства (1) и (2) являются частными случаями неравенства
справедливого при Для доказательства неравенства (3) воспользуемся методом математической индукции. При случае в доказанное выше неравенство (1). Предположим, что неравенство верно при
и докажем, что тогда верно и при
Иными словами, докажем, что из неравенства (4) следует неравенство (5). Для доказательства рассмотрим функцию
Производная этой функции имеет вид:
Из неравенства (4) следует, что
Тем самым доказано выполнение неравенства (5). Отсюда по принципу математической индукции заключаем, что неравенство (3) верно для любого натурального Пример 3. Докажем, что при
Решение. Составим вспомогательную функцию
Поэтому при Пользуясь методом математической индукции, можно доказать, что при
Неравенство, доказанное в примере 3, является частным случаем неравенства (6) при Доказанное выше неравенство (3) дает оценку для
Рис. 69 положительном значении
«прилипает» к графику функции
Таким образом, чтобы найти приближенное значение функции
Как мы отмечали выше, погрешность не будет превышать
Итак, с точностью 0,001 имеем:
Пример 4. Докажем, что если Решение. Исследуем на монотонность функцию Имеем:
Если а потому функция Пример 5. Докажем, что при
где Решение. Если
Значит, функция
где
Применив неравенство (8) к функции
что и требовалось доказать.
|
1 |
Оглавление
|