§ 5. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ НЕРАВЕНСТВ И РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ

1. Доказательство неравенств.

В настоящем пункте покажем, как используются при доказательстве неравенств такие свойства функций, как строгое возрастание, строгое убывание, выпуклость вверх, выпуклость вниз.

Пример 1. Докажем, что для всех справедливо неравенство

Решение. Составим вспомогательную функцию и найдем ее производную:

Так как при выполняется неравенство причем равенство возможно лишь в случае то функция строго возрастает на луче . В частности, выполняется неравенство Но

Значит, т. е.

Таким образом, что и требовалось доказать.

Пример 2. Докажем, что при выполняется неравенство

Решение. Составим вспомогательную функцию

и найдем ее производную:

Из неравенства (1) следует, что , значит, функция возрастает на луче Но тогда из неравенства вытекает неравенство а так как то получаем т. е.

и, следовательно,

что и требовалось доказать.

Неравенства (1) и (2) являются частными случаями неравенства

справедливого при для любого натурального числа

Для доказательства неравенства (3) воспользуемся методом математической индукции. При неравенство справедливо, так как оно обращается в этом

случае в доказанное выше неравенство (1). Предположим, что неравенство верно при т. е. что

и докажем, что тогда верно и при т. е. что оно

Иными словами, докажем, что из неравенства (4) следует неравенство (5).

Для доказательства рассмотрим функцию

Производная этой функции имеет вид:

Из неравенства (4) следует, что Значит, функция возрастает при , следовательно, при имеем:

Тем самым доказано выполнение неравенства (5). Отсюда по принципу математической индукции заключаем, что неравенство (3) верно для любого натурального

Пример 3. Докажем, что при выполняется неравенство

Решение. Составим вспомогательную функцию Ее производная имеет вид:

Поэтому при имеем и функция убывает на луче Значит, при имеем , следовательно, при Это и означает, что если что и требовалось доказать.

Пользуясь методом математической индукции, можно доказать, что при для любого натурального справедливо неравенство

Неравенство, доказанное в примере 3, является частным случаем неравенства (6) при

Доказанное выше неравенство (3) дает оценку для по недостатку, а неравенство (6) дает оценку для по избытку. Отклонение этих оценок друг от друга равное Можно доказать, что при это выражение стремится к нулю при любом

Рис. 69

положительном значении Поэтому, чем больше тем сильнее график многочлена где

«прилипает» к графику функции (рис. 69). Значит,

Таким образом, чтобы найти приближенное значение функции нужно найти значение при достаточно большом Но вычисление сводится к операциям сложения, умножения и деления, а эти операции может выполнять электронно-вычислительная машина. Поэтому с помощью равенства (7) можно осуществить вычисление на Вычислим для примера значение с точностью 0,001. Воспользовавшись равенством (7), получим:

Как мы отмечали выше, погрешность не будет превышать , т. е. поскольку х = 1, погрешность не будет превышать Для достижения точности 0,001 достаточно взять . В самом деле, так как то

Итак, с точностью 0,001 имеем:

Пример 4. Докажем, что если то

Решение. Исследуем на монотонность функцию

Имеем:

Если как известно, и тем более Значит, в интервале выполняется неравенство

а потому функция строго возрастает на этом интервале. Тогда из следует т. е. что и требовалось доказать.

Пример 5. Докажем, что при выполняется неравенство

где

Решение. Если то неравенство очевидно. Пусть положим для определенности Рассмотрим функцию на отрезке Имеем:

Значит, функция выпукла вниз на отрезке Но если функция выпукла вниз на отрезке то для любых точек этого отрезка выполняется неравенство

где (с. 101). В частности, если получаем:

Применив неравенство (8) к функции получим:

что и требовалось доказать.