Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
1) Функция непрерывна на дифференцируема в , причем для всех
Рис. 92
2) Функция непрерывна на и дифференцируема в
Тогда уравнения (6) определяют функцию непрерывную на отрезке и дифференцируемую внутри этого отрезка, причем при имеем:
Доказательство. Из условия 1) следует, что функция непрерывна и строго возрастает на Поэтому для нее существует обратная функция непрерывная и строго возрастающая на отрезке . Но тогда и эта функция непрерывна на отрезке с концами
Пользуясь формулой для производной сложной функции, найдем:
но так как производная обратной функции вычисляется по формуле (напомним, что по условию ), то окончательно получим:
что и требовалось доказать.
Аналогичная теорема справедлива, если для всех
Пример 6. Найдем для функции, заданной параметрическими уравнениями
Решение. Имеем: на
На данном отрезке 0; выполнены все условия теоремы 1.
непрерывна на 
дифференцируема в 
, причем 
для всех 
непрерывна на 
и дифференцируема в 
непрерывную на отрезке 
и дифференцируемую внутри этого отрезка, причем при 
имеем:
непрерывна и строго возрастает на 
Поэтому для нее существует обратная функция 
непрерывная и строго возрастающая на отрезке 
. Но тогда 
и эта функция непрерывна на отрезке с концами 
(напомним, что по условию 
), то окончательно получим:
для всех 
для функции, заданной параметрическими уравнениями
на 
