5. Дифференциалы высшего порядка.

Пусть функция задана на некотором множестве X. Дифференциал данной функции, представляющий собой главную линейную часть приращения функции, вычисляется, как мы знаем, следующим образом:

Он является функцией независимой переменной , следовательно, от этой функции можно взять дифференциал, считая значение дифференциала независимой переменной, тем же самым:

Такой дифференциал называют дифференциалом второго порядка и обозначают Таким образом,

Так как не зависит от то — постоянный множитель и его можно вынести за знак дифференциала:

Таким образом, дифференциал второго порядка равен произведению производной второго порядка на квадрат дифференциала независимой переменной:

Полученную формулу можно переписать в виде

откуда получаем:

Выражение — используется для обозначения второй производной (читается: два игрек по икс квадрат»).

Дифференциалом третьего порядка называют дифференциал от дифференциала второго порядка (при том же значении

Имеем:

Итак,

Отсюда получаем:

(это выражение используется для обозначения третьей производной).

Вообще дифференциалом порядка называют дифференциал от дифференциала порядка:

при том же значении

Таким образом, понятие дифференциала порядка, как и понятие производной порядка, определено нами индуктивно с помощью рекуррентного соотношения (14).

Выше мы видели, что

Предположим, что и докажем, что тогда

Имеем:

По принципу математической индукции заключаем, что для любого натурального верна формула

Замечание. Записанная формула дифференциала то порядка верна, если является независимой переменной. В случае, когда — промежуточный аргумент, эта формула, как правило, неверна. Если то не является постоянной. Тогда по правилу вычисления дифференциала произведения (см. правило 4 § 3) имеем:

Лишь при условии, что получаем т. е. формулу (13). Это будет иметь место, если —линейная функция от

Таким образом, форма записи для дифференциалов высших порядков неинвариантна.

Пример 12. Найдем для функции при

Решение. По формуле (15) имеем:

Найдем Таким образом,

При получаем:

Пример 13. Найдем для функции в случае, когда: — независимая переменная; — функция от другой переменной.

Решение. 1) Имеем:

Значит,

2) Так как для дифференциалов второго и более высоких порядков свойство инвариантности нарушается, формулой (15) пользоваться нельзя. Имеем:

Вопросы для самопроверки

1. Как определяется производная порядка? Как она обозначается?

2. В чем состоит механический смысл второй производной?

3. Как вычисляется производная порядка от суммы конечного числа функций?

4. Сформулируйте правило вычисления производной порядка от линейной комбинации конечного числа раз дифференцируемых функций.

5. Как вычисляется производная порядка от произведения двух функций (формула

6. Напишите частные случаи формулы Ньютона для

7. Как определяется дифференциал 2-го порядка? 3-го порядка? порядка?

8. Как вычисляется дифференциал порядка?

9. Инвариантна ли форма записи для дифференциалов высших порядков?

10. Напишите формулу для в случае, когда — промежуточный аргумент.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)