ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ПРОИЗВОДНАЯ

§ 1. ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ

1. Приращение функции.

Рассмотрим квадрат, длина стороны которого равна Его площадь равна Если длину стороны увеличить на то площадь квадрата увеличится на величину, называемую приращением площади квадрата и равную (рис. 1).

В математике приращение переменной обозначают Обозначив приращение площади через получим:

Рис. 1

Аналогично определяется понятие приращения для любой функции.

Определение. Пусть функция задана на множестве X и пусть . Разность между значениями функции в точках называется приращением функции при переходе от точки к точке и обозначается

Заметим, что термин «приращение» не следует отождествлять со словом «увеличение»: приращение как аргумента, так и функции может быть как положительным, так и отрицательным.

Пример 1. Найдем приращение функции при переходе от точки к точке

Решение. Имеем:

значит,

Итак, функция обладает следующим свойством:

На рисунке 2 представлена геометрическая иллюстрация этого факта.

Рис. 2

Рис. 3

Пример 2. Найдем приращение функции при переходе от точки к точке

Решение. Имеем:

Тогда

Итак, для линейной функции мы получили следующий результат:

т. е. приращение линейной функции пропорционально приращению аргумента; коэффициентом пропорциональности служит угловой коэффициент На рисунке 3 представлена геометрическая иллюстрация этого факта.

Пример 3. Найдем приращение функции при переходе от точки к точке

Решение. Имеем:

Тогда

Заметим, что если в примерах 1 и и Да: могли выбираться произвольно, то в примере 3 должны выполняться условия: .