2. Достаточные условия выпуклости.

Теорема 2. Пусть — функция из класса и пусть в любой внутренней точке отрезка существует Если всюду в интервале выполняется неравенство , то функция выпукла вниз на ; еслм всюду в выполняется неравенство то функция выпукла вверх на отрезке .

Доказательство. Рассмотрим случай, когда Возьмем произвольную точку и запишем уравнение касательной к графику функции в точке

Тогда

Применив к разности формулу Лагранжа (теорема Лагранжа применима, так как по условию функция непрерывна на и дифференцируема в ), получим;

где — точка, лежащая между точками

Теперь, применив формулу Лагранжа к разности получим:

где точка с лежит между точками и 0. Значит,

Точки их лежат по одну сторону от точки и потому Кроме того, по условию . В итоге получаем означает, что на отрезке график обращен выпуклостью вниз.

Аналогично доказывается, что в случае функция выпукла вверх.

С соответствующими изменениями теорема верна для любого промежутка X.

Пример 1. Покажем, что функция выпукла вниз на всей числовой прямой.

Решение. Имеем Так как при любом то по теореме 2 функция выпукла вниз на

Рис. 60

Рис. 61

Рис. 62

Пример 2. Покажем, что функция выпукла вверх на луче

Решение. Имеем:

Если то Значит, функция выпукла вверх на луче

Пр и Исследуем на выпуклость функцию

Решение. Имеем:

При получаем при а при Значит, график степенной функции представляет собой выпуклую вниз кривую при и выпуклую вверх кривую при если то имеем линейную функцию которая может считаться как выпуклой вверх, так и выпуклой вниз (см. рис. 17).