§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

1. Определение дифференцируемостие функции в точке.

Одной из основных задач математического анализа является изучение свойств функций. Различают локальные и глобальные свойства функций. Локальными называют свойства функций, зависящие от их значений в произвольно малой окрестности рассматриваемой точки, а глобальными — свойства функции на заданном множестве (например, в области определения функции). Например, непрерывность функции в данной точке — локальное свойство, а ее непрерывность на отрезке — глобальное.

В изучении локальных свойств функции большую роль играет приращение функции. Например, в предыдущем параграфе мы видели, что непрерывность функции , в точке равносильна требованию Для многих функций справедливо более сильное утверждение о .

Рассмотрим примеры:

В примере 1 приращение функции пропорционально приращению аргумента, в остальных примерах такой пропорциональности нет. Однако в примерах 2 и 3 приращение функции при малых значениях «почти пропорционально» вызвавшему его приращению аргумента. Чтобы получилась «настоящая» пропорциональность, нужно в примере отбросить слагаемое а в примере 3 — слагаемое Эти слагаемые при являются бесконечно малыми более высокого порядка, чем они имеют вид где . В самом деле, в примере 2 имеем здесь . В примере 3 имеем

Теперь уже ясен математический смысл, который надо вложить в термин «почти пропорционально»: приращение функции , в точке «почти пропорционально» приращению аргумента, если где А — число, при .

Оказывается для большинства изучаемых в математическом анализе функций имеет место «почти пропорциональность» приращения функции приращению аргумента.

Рис. 4

Дело в том, что графики большинства элементарных функций представляют собой гладкие кривые, одна из которых изображена на рисунке 4.

Если смотреть на эту кривую через сильное увеличительное стекло, то можно заметить, что, чем ближе увеличительное стекло к нашей кривой, т. е. чем меньше окрестность точки М, тем теснее кривая сливается с некоторой прямой (происходит как бы «выпрямление» кривой). Прямая называется касательной к графику функции в точке Если для прямой пропорционально то для графика функции «почти пропорционально» Позднее дадим точное определение касательной и увидим, что ее угловой коэффициент равен числу А в выражении для приращения функции

Определение. Пусть функция , определена в некоторой окрестности точки . Эта функция называется дифференцируемой в точке если ее приращение в точке может быть представлено в виде

где А — число, при

Рассмотренные выше функции дифференцируемы в любой точке

Число А зависит от его называют производным числом и обозначают Ясно, что если функция дифференцируема на всем множестве X (т. е. в каждой точке этого множества), то, сопоставив каждому число получим функцию . Ее называют производной от функции , и обозначают у.

Отметим, что множитель а в равенстве (1) зависит и от числа Считают, что при

Произведение называют дифференциалом функции в точке и обозначают Таким образом,

Это произведение пропорционально (поскольку — фиксированная точка, то — постоянный множитель). Таким образом, дифференциал функции пропорционален приращению аргумента.

Значение коэффициента А в равенстве (1) можно вычислить следующим образом: разделим обе части равенства (1) на и перейдем к пределу при

Так как то получим:

Из единственности предела следует, что А, а значит и а, в равенстве (1) определены однозначно.

Мы показали, что из дифференцируемости функции в точке вытекает существование предела Верно и обратное: из существования предела — вытекает дифференцируемость функции в точке.

В самом деле, пусть Тогда , где при Значит, т. е. функция дифференцируема.

Тем самым доказана следующая теорема.

Теорема 1. Для того чтобы функция , была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовал предел Этот предел равен значению производной в точке