§ 2. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ

Производная позволяет характеризовать поведение функции лишь вблизи от данной точки. При необходимости делать выводы о поведении функции на всей области ее задания, используется теорема, называемая теоремой Лагранжа, которую рассмотрим в настоящем параграфе. Докажем сначала следующие леммы.

1. Леммы о знаке приращения.

Лемма 1. Пусть в некоторой точке производная функции положительна, Тогда у этой точки есть окрестность, в которой знак приращения функции совпадает со знаком приращения ее аргумента, т. е. в этой окрестности

если

Доказательство. Так как в точке функция дифференцируема, то ее приращение в этой точке можно представить в виде

где При этом по условию

Так как при , то у точки найдется такая окрестность, в каждой точке которой выполняется неравенство

т. е.

Тогда , следовательно,

а потому знаки совпадают, что и требовалось доказать.

Лемма 2. Пусть в некоторой точке производная функции отрицательна, Тогда у этой точки есть окрестность, в которой знак приращения функции противоположен знаку приращения аргумента.

Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы 1. Из лемм 1 и 2 вытекает следующая теорема, дающая необходимое условие того, что — точка экстремума функции.

Теорема 1. Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки и имеет экстремум в этой точке. Тогда производная функции в точке либо равна нулю, либо не существует.

Доказательство. Возможны четыре случая:

4) производная в точке не существует (функция не дифференцируема в этой точке).

Если то по лемме 1 у точки есть окрестность, в которой знаки Да: и совпадают. Поэтому может принимать в этой окрестности и положительные, и отрицательные значения. В то же время мы видели в § 1, что если — точка экстремума, то у нее есть окрестность, в которой имеет один и тот же знак (положительный в точке минимума и отрицательный в точке максимума). Полученное противоречие показывает, что точка, в которой не может быть точкой экстремума.

Аналогично доказывается, что отпадает и второй случай, следовательно, остаются лишь третий и четвертый случаи, т. е. в точке экстремума производная либо равна 0, либо не существует.