2. Теорема 2 (теорема Ролля).

Пусть функция удовлетворяет следующим условиям: 1) непрерывна на отрезке ) дифференцируема в интервале на концах отрезка принимает равные значения: Тогда в интервале существует, по крайней мере, одна точка с, производная в которой равна нулю.

Доказательство. По условию данная функция непрерывна на отрезке следовательно, на этом отрезке она принимает свое наименьшее значение и свое наибольшее значение М. Возможны два случая: 1) значения и М данная функция принимает на концах отрезка; 2) хотя бы одно из значений или М данная функция принимает во внутренней точке отрезка.

Рассмотрим первый случай. Пусть Так как по условию то получаем:

Это значит, что наибольшее значение функции на отрезке совпадает с ее наименьшим значением, и потому данная функция на этом отрезке постоянна. Но тогда всюду на этом отрезке ее производная равна нулю, и в качестве точки с можно выбрать любую точку интервала (рис. 33).

Рассмотрим второй случай, когда хотя бы одно из значений или М достигается во внутренней точке отрезка; пусть для определенности где Это значит, что с является точкой максимума функции, а тогда в силу необходимого условия экстремума (по теореме 1) в

Рис. 33

Рис. 34

Рис. 35

Рис. 36

этой точке производная либо не существует, либо равна нулю По условию данная функция дифференцируема в любой внутренней точке отрезка, значит, она дифференцируема и в точке с. В таком случае возможно только, что Теорема доказана.

Покажем, что все три условия теоремы необходимы.

1) Непрерывность функции на отрезке Функция, график которой изображен на рисунке 34, дифференцируема в интервале Тем не менее производная этой функции не обращается в 0 ни в одной точке интервала Причина в том, что нарушено первое условие теоремы Ролля (функция имеет разрыв в точке

2) Дифференцируемость функции в интервале Для функции, график которой изображен на рисунке 35, в точке с не существует производной. На нет ни одной точки, в которой производная была бы равна нулю, хотя первое и третье условия теоремы Ролля выполнены.

3) Равенство значений функции на концах отрезка. На рисунке 36 изображен график функции, непрерывной на и дифференцируемой на но у которой На нет ни одной точки, в которой производная была бы равна нулю.

Пример 1. Проверим, применима ли теорема Ролля к функции на отрезке Если окажется, что теорема применима, то найдем точку с, в которой производная данной функции равна нулю.

Решение. Функция непрерывна на отрезке ее производная определена всюду на наконец, Значит, все три условия теоремы Ролля выполнены. В качестве точки с можно выбрать так как Заметим, что можно было положить

Пример 2. Покажем, что уравнение имеет только один действительный корень.

Решение. Рассмотрим функцию Она непрерывна и дифференцируема на всей числовой прямой, причем Легко видеть, что при любом

Рис. 37

значении имеем Но тогда уравнение может иметь не более одного действительного корня. В самом деле, если бы оно имело два корня то, применив к функции на отрезке теорему Ролля все условия теоремы Ролля здесь выполнены: непрерывна на дифференцируема на мы получили бы, что между существует точка с такая, что Последнее невозможно, значит, уравнение имеет не более одного действительного корня. Существование действительного корня следует из того, что — многочлен нечетной степени (корень в данном случае легко найти подбором).