4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на данном отрезке.

Пусть функция непрерывна на отрезке Тогда по теореме Вейерштрасса (см. «Введение в анализ», с. 178) на этом отрезке данная функция принимает и свое наибольшее, и свое наименьшее значения. Однако в теореме Вейерштрасса ничего не говорится о том, как искать эти значения. Здесь возможны два случая:

а) наибольшее (соответственно, наименьшее) значение достигается во внутренней точке отрезка (рис. 49);

б) наибольшее (соответственно, наименьшее) значение достигается в одной из концевых точек отрезка (рис. 50).

Если наибольшее значение функция принимает во внутренней точке отрезка, то будет точкой максимума функции, если же во внутренней точке данная функция принимает наименьшее значение, то будет точкой минимума (рис. 49).

Итак, для того чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке нужно:

1) найти производную данной функции;

2) найти критические точкщ

3) вычислить значения функции в найденных точках и на концах отрезка;

4) из всех найденных значений функции выбрать наибольшее (наименьшее). Здесь мы предполагаем, что таких значений конечное

множество, а во всяком конечном числовом множестве есть наибольший и наименьший элементы.

Иногда оказываются полезными следующие замечания, позволяющие упростить вид исследуемой функции и ее производной.

а) Если выражение функции содержит постоянное слагаемое, то его можно отбросить, не изменив точек, в которых достигаются наибольшие и наименьшие значения (сами эти значения изменяются на это постоянное).

б) Если выражение функции содержит положительный множитель, то его можно отбросить, не изменяя точек, в которых достигаются наибольшие и наименьшие значения (сами эти значения изменяются в соответствующее число раз). При изменении знака функции эти точки не изменяются, но наибольшие значения становятся наименьшими и наоборот.

в) Если причем строго возрастает, то значения аргумента, при которых у принимает наибольшие и наименьшие значения, совпадают со значениями аргумента, в которых наибольшее и наименьшее значения принимает

Пример 8. Найдем наибольшие и наименьшие значения функции на отрезке [0; 3].

Решение. Так как постоянное слагаемое, а функция строго возрастает, то достаточно найти точки, где принимает наименьшее и наибольшее значения функция

Так как то лишь при Поэтому нам надо сравнить значения функции в точках

Мы имеем Заданная функция принимает наименьшее значение при а наибольшее при

Поэтому наибольшее, а — наименьшее значение функции на заданном отрезке. Из всех прямоугольников с данной площадью найдем прямоугольник с наименьшим периметром.

Решение. Пусть — длина одной из сторон прямоугольника, тогда - длина другой стороны, а периметр т. е. исследуемая функция, будет иметь вид:

где

Рис. 51

Рис. 52

Нам надо найти наименьшее значение этой функции при Имеем:

Производная не существует в точке но в данном случае она нас не интересует, ибо по смыслу задачи Решая уравнение

получаем (отрицательный корень уравнения не учитываем). Поскольку то точка минимума функции, причем в этой точке функция принимает наименьшее значение (рис. 51). При получаем:

Заметим, что если длина одной стороны прямоугольника равна то и длина другой будет равна т. е. из всех прямоугольников с данной площадью наименьший периметр имеет квадрат.

Данная задача часто формулируется следующим образом: доказать, что если произведение двух положительных чисел постоянно, то их сумма наименьшая, когда числа равны. В такой формулировке задача полезна в алгебре.

Пример 10. Из круглого бревна радиуса требуется вытесать балку прямоугольного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения (ширина меньше высоты), чтобы балка имела наибольшую прочность (прочность балки пропорциональна произведению ширины полученного сечения на квадрат его высоты).

Решение. На рисунке 52 изображено поперечное сечение бревна. Выразим прочность балки как функцию ее ширины Из треугольника изображенного на рисунке 52, видно, что высота балки равна Значит, прочность балки будет равна

( — коэффициент пропорциональности). Найдем производную функции

Рис. 53

Имеем:

Приравняв производную нулю, находим:

Итак, самая прочная балка будет, если ее ширина

Высота балки определится по формуле

Пример 11. Населенные пункты А и В находятся по одну сторону от полотна железной дороги на расстояниях а и соответственно. Где нужно построить станцию С, чтобы расстояние было наименьшим?

Решение. Обозначим через расстояние от D до С (рис. 53), (заданное число). Тогда Так как

то

Здесь Найдем наименьшее значение функции на отрезке Имеем:

Уравнение имеет вид:

т.е.

Но

Таким образом, станцию надо построить в таком пункте С, чтобы отрезки и образовывали конгруэнтные углы с перпендикуляром, восставленным из точки С (угол падения конгруэнтен углу отражения). Величину этого угла можно найти так:

тогда

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте условия строгого возрастания функции на отрезке.

2. Сформулируйте условия строгого убывания функции на отрезке.

3. Может ли производная строго монотонной на отрезке функции обратиться в нуль в конечном множестве точек из отрезка

4. Сформулируйте необходимое условие экстремума функции; сделайте геометрическую иллюстрацию.

5. Как отыскивается экстремум функции с помощью первой производной?

6. Как исследуется экстремум функции с помощью второй производной?

7. Как отыскивается наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке функции?

8. В каком случае можно утверждать, что минимум функции является и ее наименьшим значением на данном отрезке?

9. В каком случае можно утверждать, что максимум функции является и ее наибольшим значением на данном отрезке?

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)