2. Определение непрерывности функции в точке «на языке приращений».

Как известно, функция , называется непрерывной в точке , если для любого существует такое что из , следует .

Если обозначить через через то определение непрерывности примет следующий вид: функция , называется непрерывной в точке , если для

любого существует такое, что из следует Короче:

Полученная запись означает, что т. е. предел приращения функции равен нулю при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Это и есть определение непрерывности функции в точке «на языке приращений».

Определение. Функция , называется непрерывной в точке , если

Пример 4. Докажем непрерывность функции в произвольной точке пользуясь определением непрерывности «на языке приращений».

Решение. Имеем:

Так как то

Итак, Отсюда следует, что а это и означает непрерывность функции в точке.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется приращением аргумента, приращением функции?

2. Может ли приращение функции быть положительным, отрицательным, равным нулю? Приведите пример, когда

3. Чему равно приращение функции, если

4. Сформулируйте определение непрерывности функции в точке «на языке

5. Сформулируйте определение непрерывности функции в точке «на языке приращений».

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)