2. Механический смысл второй производной.
Выше было установлено, что первая производная пути 
по временность мгновенная скорость:
Рассматривая производную скорости по времени 
получим производную второго порядка, выражающую скорость изменения скорости, т. е. ускорение:
Пример 6. Тело движется прямолинейно по закону 
в метрах, 
в секундах). Докажем, что тело движется под действием постоянной силы.
Решение. Имеем:
Так как 
то ускорение постоянно и равно 
Но по закону Ньютона сила пропорциональна ускорению. Значит, сила постоянна.
Пример 7. Гармоническое колебание описывается законом 
, где 
— время, 
— смещение колеблющейся точки от оси, 
— постоянные величины (амплитуда, угловая частота и начальная фаза колебаний). Докажем, что закон гармонических колебаний удовлетворяет дифференциальному уравнению
Решение. Имеем:
Тогда
что и требовалось доказать.
Пример 8. Длина вертикально стоящей лестницы равна 5 м. Нижний конец лестницы начинает отодвигаться от стены с постоянной скоростью 2 м/с. С какой скоростью опускается в момент времени 
с верхний конец лестницы? Чему равно его ускорение в этот момент времени?
Рис. 27
Решение. За с нижний конец лестницы пройдет расстояние 
По теореме Пифагора (рис. 27) находим, что верхний конец находится в этот момент на высоте 
а значит, он прошел путь 
. Это закон движения.
Имеем:
Тогда искомая скорость находится следующим образом:
а искомое ускорение
