§ 4. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ

1. Определение выпуклости.

Рассмотрим графики функций, изображенные на рисунках 54, 55 и 56. Первый график обращен выпуклостью вниз, второй — выпуклостью вверх, а третий имеет

Рис. 54

Рис. 55

Рис. 56

Рис. 57

участки, где график обращен выпуклостью вверх, и участки, где обращен выпуклостью вниз. Чтобы уточнить соответствующие понятия, заметим, что какую бы хорду дуги А В на рисунке 54 мы ни провели, она окажется выше соответствующего участка кривой; какую бы хорду дуги на рисунке 55 мы ни провели, она окажется ниже соответствующего участка кривой; наконец, на рисунке 56 хорды могут оказаться и выше, и ниже соответствующих участков кривой.

Введем следующее определение.

Определение 1. График функции непрерывной на отрезке обращен выпуклостью вниз на этом отрезке, если хорда, соединяющая любые две точки этого графика, расположена на отрезке не ниже графика. В этом случае и саму функцию называют выпуклой вниз на отрезке

Аналогично определяется график выпуклый вверх на отрезке Соответствующие понятия можно рассматривать для любого промежутка.

Дадим аналитическую запись определения выпуклости вниз. Возьмем произвольную точку хорды (рис. 54). Положив получим где

Из геометрических соображений (рис. 57) заключаем, что

Отсюда получаем, что ордината точки М хорды вычисляется по формуле

Значение функции в выбранной точке равно

Поэтому условие, что хорда лежит не ниже дуги, означает, что для любых где и любого выполняется неравенство

Это неравенство является аналитическим определением понятия выпуклости вниз.

Рис. 58

Аналогично функцию непрерывную на отрезке называют выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых где выполняется неравенство

Определениям выпуклости вниз и вверх можно придать иной вид. Из рисунка 58 видно, что если кривая обращена выпуклостью вниз, то угол наклона хорды к положительному направлению оси абсцисс не больше угла наклона хорды к положительному направлению оси абсцисс. Но

Значит, для выпуклой вниз функции при получаем

Неравенства (1) и (3) эквивалентны.

Докажем эквивалентность неравенств (1) и (3). Если в неравенстве (1) положить то получим:

Тогда неравенство (1) примет следующий вид:

т. е.

откуда

Мы доказали, что неравенство (3) следует из неравенства (1). Выполнив те же преобразования в обратном порядке, получим, что и неравенство (1) следует из неравенства (3).

Аналогично определение выпуклой вверх функции можно записать в виде следующего неравенства:

Рис. 59

Неравенства (2) и (4) эквивалентны. Неравенство (4) имеет простой геометрический смысл: для выпуклой вверх функции имеем , (рис. 59).

Теорема 1. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале Для того чтобы функция была выпукла вниз на отрезке необходимо и достаточно, чтобы на этом отрезке ее график лежал не ниже касательной, проведенной к графику в любой точке

Доказательство необходимости. Пусть функция выпукла вниз на отрезке и пусть Составим уравнение касательной к графику функции в точке

Нужно доказать, что для любой точки из отрезка будет выполняться неравенство

Если то неравенство (5) можно переписать в виде

если же то неравенство (5) можно переписать в виде

Итак, нам надо доказать, что при выполняется неравенство (6), а при — неравенство (7).

Пусть Дадим аргументу положительное приращение так, что По условию функция выпукла вниз на отрезке тогда, применив к точкам неравенство (3), получим:

Перейдем в этом неравенстве к пределу при Так как по условию функция дифференцируема в точке то

так как функция непрерывна в точке то

Значит, из неравенства (8) получаем:

что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается, что при выполняется неравенство (7). Если то неравенство (5) обращается в верное числовое неравенство

Итак, для любой точки справедливо неравенство (5). Необходимость доказана.

Доказательство достаточности. Пусть график функции на отрезке лежит не ниже касательной, проведенной к графику в любой точке отрезка . Докажем, что функция выпукла вниз на отрезке

Возьмем две точки так, что . Пусть — произвольная точка интервала Проведем касательную к графику в точке

(см. скан)

Но это (см. выше неравенство (3)) и означает выпуклость вниз функции на отрезке Теорема доказана.

Обозначим класс функций, непрерывных на отрезке и дифференцируемых в интервале Теорема 1 позволяет дать для функции из другое определение выпуклости вниз, эквивалентное данному выше.

Определение 2. Пусть — функция на отрезке , принадлежащая классу Она называется выпуклой вниз на , если на этом отрезке ее график лежит не ниже касательной, проведенной к графику в любой точке отрезка

Аналогично можно определить понятие выпуклости вверх.

Определение 3. Пусть — функция на отрезке принадлежащая классу Она называется выпуклой вверх на , если на этом отрезке ее график лежит не выше касательной, проведенной к графику в любой точке отрезка

Замечание. Ясно, что определение 1 применимо к более широкому классу функций, чем определения 2 и 3: оно применимо к классу функций, непрерывных на тогда как определения 2 и 3 применимы к классу функций, непрерывных на и дифференцируемых в Значит, для функций из можно пользоваться как определением 1, так и определением 2 или 3.