§ 6. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

До настоящего времени мы располагаем шестью правилами и только одной формулой дифференцирования: . В этом параграфе получим формулы дифференцирования других элементарных функций.

1. Дифференцирование тригонометрических функций.

Найдем производную функции Дадим приращение Тогда

Воспользовавшись формулой преобразования разности синусов в произведение, получим:

Разделим обе части этого равенства на и перейдем к пределу при Получим:

Заменим бесконечно малую величину — эквивалентной бесконечно малой — и воспользуемся тем, что в силу непрерывности косинуса

Будем иметь:

Таким образом,

Аналогично выводится формула

Вывод этой формулы мы оставляем читателю.

Формулы (1) и (2) можно получить, руководствуясь физическими соображениями. Пусть по окружности единичного радиуса с угловой скоростью рад/с движется точка и пусть в начальный момент времени она находится в положении а в момент времени в положении А (рис. 22). Дуга имеет длину и величина центрального угла равна радиан. По определениям синуса и косинуса имеем: ордината точки А есть абсцисса точки А есть Значит, проекция В точки А на ось абсцисс движется по закону а проекция С точки А на ось ординат движется по закону Найдем скорости этих движений.

Заметим, что линейная скорость точки А выражается формулой Так как в нашем случае то и Разложим линейную скорость на две составляющие — горизонтальную и вертикальную Вектор скорости точки , где направлен по касательной к окружности, проведенной в точке А, и потому образует с осью угол а с осью угол Следовательно, его проекция на ось (т. е. скорость движения точки В) равна

а его проекция на ось (т. е. скорость движения точки С) равна

Так как скорость есть производная пути по времени, то, учитывая, что — закон движения точки В, а скорость заключаем, что

Аналогично учитывая, что — закон движения точки С, а скорость заключаем, что

Рассмотрим теперь функцию

Для вычисления производной этой функции воспользуемся правилом дифференцирования частного. Имеем:

Рис. 22

Итак,

Аналогично выводится формула

Каждая из этих формул справедлива в любой точке области определения соответствующей функции.

Пример 1. Найдем величину угла, который образует график функции с осью абсцисс в начале координат.

Решение. Для этого найдем угловой коэффициент касательной к графику функции при Имеем:

Значит, т. е. в начале координат Величина искомого угла

Пример 2. Найдем величину угла, который образует график функции с осью абсцисс в начале координат.

Решение. Имеем:

Значит, в начале координат Величина искомого угла равна

Полученные в примерах 1 и 2 результаты необходимо учитывать при построении графиков функций и

На рисунках 23 и 24 представлены графики функций Обратите внимание на вид этих графиков в начале координат: они касаются прямой

Пример 3. Найдем скорость движения точки,

Рис. 23

Рис. 24

совершающей гармоническое колебание по закону .

Решение. Имеем:

Пример 4. Найдем производную и дифференциал функции

Решение. Имеем:

Воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции, получим: