2. Дифференцирование обратной функции.

Мы знаем, что если функция непрерывна на отрезке и строго монотонна на этом отрезке, то для нее существует обратная функция , непрерывная и строго монотонная на отрезке Докажем, что если функция кроме того, дифференцируема в какой-нибудь внутренней точке , причем в этой точке то функция дифференцируема в точке причем

Рассмотрим функцию в точке и дадим у приращение Тогда получит приращение где

При этом в силу строгой монотонности обратной функции . Так как по условию функция дифференцируема в точке то

где а 0 при Из равенства (5) получаем:

Перейдем в равенстве (6) к пределу при . В силу непрерывности обратной функции из следует , а из следует а Так как по условию , то в итоге получаем:

Но существование и означает дифференцируемость обратной функции в точке

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть функция непрерывна и строго монотонна на отрезке и дифференцируема во внутренней точке этого отрезка, причем Тогда обратная функция дифференцируема в точке причем

Эта теорема позволяет сформулировать следующее правило вычисления производной обратной функции: производная обратной функции есть величина, обратная производной заданной функции:

Ниже (см. п. 2 § 3 главы 2) будет доказано, что для строгого возрастания непрерывной функции достаточно, чтобы она была дифференцируема во всех внутренних точках отрезка и ее производная была положительной в этих точках. Отсюда следует, что если функция непрерывна на отрезке и имеет положительную производную во всех внутренних точках этого отрезка, то для нее существует обратная функция , заданная на отрезке непрерывная, строго возрастающая и дифференцируемая на этом отрезке. Аналогично обстоит дело, если производная функции отрицательна внутри отрезка (в этом случае функция строго убывает).