2. Дифференцирование произведения.

Теорема 3. Если функции , дифференцируемы в точке , то функция также дифференцируема в точке причем

Короче: произведение двух дифференцируемых функций и и дифференцируемо, причем

Доказательство. Дадим приращение Тогда функции и и получат приращения, соответственно А и и а для функции у будем иметь:

Итак,

Разделим обе части полученного равенства на

Пусть стремится к 0. Так как по условию — дифференцируемые функции, то существуют причем первый предел равен а второй равен

Под в равенстве (3) понимаются значения функций в фиксированной точке поэтому и и — постоянные множители, и их можно вынести за знак предела. Кроме того, воспользовавшись непрерывностью дифференцируемой функции (теорема 2 § 2), приходим к выводу, что

Таким образом,

Значит, предел правой части равенства (3) при существует и равен . В таком случае существует и причем этот предел равен Значит, в точке дифференцируема, причем Теорема доказана.

Выведем формулу для вычисления дифференциала произведения. Имеем:

Тем самым получено следующее правило.

Рис. 19

Правило 4. Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Дифференциал произведения вычисляется по формуле:

На рисунке 19 представлена геометрическая иллюстрация правила вычисления дифференциала произведения. Рассмотрим прямоугольник, длины сторон которого равны и и у, и найдем дифференциал площади Он равен площади заштрихованной фигуры, которая представляет собой объединение двух прямоугольников, причем длины сторон одного равны и а другого —

Пример 4. Найдем производную функции в точке и дифференциал функции в этой точке при

Решение. Имеем:

Тогда

а

Правило 4 распространяется на произведение любого конечного числа дифференцируемых функций. Пусть функции дифференцируемы в точке Найдем производную функции

Имеем:

Итак,

Методом математической индукции можно доказать, что

Заметим, что правило 2, непосредственно следует из правила 4. В самом деле,