3. Дифференцирование обратных тригонометрических функций.

Найдем производную функции воспользовавшись правилом дифференцирования обратной функции. Обратной к функции является функция Эта функция непрерывна, монотонна и

дифференцируема на отрезке причем производная существует и отлична от нуля в любой внутренней точке отрезка. Имеем:

Но Таким образом,

Аналогично выводится формула

Обе полученные формулы справедливы при условии

Найдем производную функции Обратной к функции является функция Имеем:

Условия теоремы 1 о дифференцируемости обратной функции выполнены, значит,

Но Таким образом,

Аналогично выводится формула

Замечание. Формулы (9) и (11) могут быть выведены иначе. Известно, что Значит,

Аналогично из соотношения может быть получена формула (11).

Пример 5. Найдем производную функции

Решение. Воспользовавшись правилом дифференцирования произведения и формулами (8) и (9), получим:

Пример 6. Найдем дифференциал функции в точке при

Решение. Имеем: Воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции, получим:

Значит,

Тогда

Пример 7. Найдем производную функции

Решение. Имеем:

Замечаем, что если не существует. Полученный результат хорошо иллюстрируется на графике функции изображенном на рисунке 25. В точках график имеет излом.