3. Использование второй производной для исследования функций на экстремум.

Теорема 4. Пусть

и в точке существует вторая производная. Тогда если то — точка минимума функции, а если то — точка максимума функции.

Доказательство. Пусть Так как есть производная функция то по лемме о знаке приращения функции точки есть окрестность в которой знак совпадает со знаком Но значит,

Рис. 49

Рис. 50

Так как оказалось, что при переходе через точку производная меняет знак с на то в этой точке имеем минимум.

Доказательство случая, когда проводится аналогично.

Пример 7. Исследуем на экстремум функцию

Решение. Найдем производную:

Из уравнения находим Далее найдем вторую производную:

Определим знак второй производной в каждой из найденных точек.

Имеем:

следовательно, есть точка максимума, а — точка минимума функции.