7. Логарифмическое дифференцирование.

Пусть нужно найти производную функции

Упростим выражение, пользуясь свойствами логарифмов. Получим:

Теперь искомая производная может быть легко найдена последовательным применением правила дифференцирования линейной комбинации и композиции функций (это будет сделано ниже).

Во многих случаях при нахождении производных частного двух функций, произведения нескольких функций, показательно-степенных функций пользуются формулой логарифмического дифференцирования. Так называется формула для производной логарифма данной функции. Пользуясь свойствами логарифма, сначала находят производную логарифма данной функции, а по ней легко получают искомую производную самой функции. Покажем, как это делается.

Пусть нужно найти производную функции , в такой точке , где Введем в рассмотрение функцию и найдем ее производную (как мы отметили выше, во многих случаях и находится проще, чем Но Значит,

Это и есть формула логарифмического дифференцирования. Из нее следует, что

Пример 13. Найдем производную функции

Решение. Воспользуемся методом логарифмического дифференцирования. Рассмотрим функцию

то есть

Имеем:

Тогда по формуле (21) получим:

Пример 14. Найдем производную функции

Решение. Рассмотрим функцию и вычислим ее производную:

У рассмотренной в примере 14 функции и основание, и показатель степени были переменными. Такие функции называются показательно-степенными Выведем правило дифференцирования показательно-степенной функции.

Пусть где — дифференцируемые в точке функции, причем Тогда Отсюда получаем:

Воспользуемся этой формулой для вычисления производной функции Получим

Вопросы для самопроверки

1. Где при выводе формулы была использована непрерывность функции ?

2. Эквивалентность каких бесконечно малых мы использовали при выводе формулы

3. В чем состоит физический смысл формул

4 Для каких значений справедлива формула

5. Для каких значений справедлива формула

6. Сформулируйте теорему о дифференцируемости обратной функции.

7. В чем заключается правило вычисления производной обратной функции? Дайте геометрическое истолкование этому правилу.

8. Эквивалентность каких бесконечно малых мы использовали при выводе формулы

9. Какой угол образует с осью ординат график показательной функции

10. В чем состоит метод логарифмического дифференцирования?

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)