§ 7. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

1. Понятие производной n-го порядка.

Пусть на некотором множестве X определена дифференцируемая функция Производная этой функции, рассматриваемая на множестве X, является функцией от Следовательно, можно говорить о производной полученной функции, т. е. о производной от первой производной. Если она существует, то ее называют производной второго порядка функции или, короче, второй производной и обозначают у" или . Значит, по определению

Аналогично, если существует производная от второй производной, то она называется третьей производной и обозначается у" или Значит, по определению

Вообще, производной порядка называют производную от производной порядка. Производную порядка обозначают или Значит, по определению

Мы видели выше, что, обозначая первую производную, иногда указывают переменную, по которой берется производная, например, пишут Необходимость в указании переменной может возникнуть и при повторном дифференцировании. В таком случае вместо у" пишут Такая запись означает, что первая производная по еще раз дифференцируется по этой же переменной:

Аналогично третья производная обозначается и вообще производная порядка обозначается

Заметим, что понятие производной определено нами индуктивно: от первой производной перешли ко второй, от второй к третьей и т. д. Соотношение — называют рекуррентным («возвратным»), поскольку оно от производной «возвращает» нас к производной.

Пример 1. Найдем для функции

Решение.

Значит,

Пример 2. Найдем для функции

Решение. Имеем:

Отсюда можно сделать индуктивное предположение, что

Эта формула уже доказана при Предположим, что она верна при т. е. что

Тогда имеем:

Следовательно, формула верна и при По принципу математической индукции выводим, что она справедлива для любого натурального Отметим, что если а — натуральное число и то

При имеем:

Пример 3. Найдем для функции

Решение. Имеем:

Чтобы установить закон последовательного составления производных, воспользуемся формулами приведения:

Тогда получим:

Возникает естественное предположение:

Докажем его справедливость методом математической индукции.

При формула (1) верна. Предположим, что и докажем, что тогда

В самом деле,

По принципу математической индукции заключаем, что формула (1) верна для любого натурального

Например,

Точно так же доказывается, что

Пример 4. Докажем, что

Решение. Так как то (см. пример 2)

Пример 5. Докажем, что функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

Решение.

Значит,

что и требовалось доказать.