2. Приближенное решение уравнений.

При отыскании точек экстремума и точек перегиба возникает необходимость в решении уравнений. Часто эти уравнения не могут быть решены по известным формулам, и потому надо найти приближенные значения их корней. В этом пункте изложим некоторые методы приближенного решения уравнений.

Мы знаем, что если функция непрерывна на отрезке причем имеют разные знаки, то уравнение имеет хотя бы один корень, расположенный на этом отрезке. Если при этом функция строго монотонна на (например, если она имеет внутри этого отрезка производную постоянного знака), то уравнение имеет лишь один корень, расположенный на этом отрезке.

Чтобы найти приближенное значение этого корня, применяет методы хорд и касательных. При использовании метода хорд

Рис. 70

заменяют график функции на отрезке хордой, соединяющей точки Уравнение этой хорды имеет вид:

Она пересекает ось абсцисс в такой точке, где Полагая в равенстве находим, что

Это число является абсциссой точки пересечения хорды с осью Его можно принять за приближенное значение корня уравнения Чтобы получить более точное значение корня, надо вычислить значение функции в найденной точке и провести хорду, соединяющую соответствующую точку графика с тем концом графика, в котором функция имеет знак, противоположный полученному. Например, если то надо провести хорду, соединяющую точки (рис. 70). Она пересекает ось абсцисс в точке

Далее находим следующее приближение к корню:

В общем случае можно записать:

Мы получили последовательность чисел Можно доказать, что она сходится к корню уравнения Вычисления прекращают, когда в пределах заданной точности совпадают значения

Второй способ приближенного решения уравнений, называемый методом касательных, основан на замене графика функции не хордой, а касательной. Предположим, что на отрезке не только первая, но и вторая производная сохраняет один и тот же знак. Тогда график функции на всем отрезке обращен выпуклостью в одну и ту же сторону. Рисунки 71 и 72 показывают, что касательную надо проводить в точке, в которой знак функции совпадает со знаком второй производной: в точке, где функция положительна, если (т. е. график обращен выпуклостью вниз), и в точке, где функция отрицательна, в противном случае. Такая

Рис. 71

Рис. 72

точка обозначается обычно через и называется начальным при 6 лишением.

Предположим для определенности, что Тогда касательную надо проводить в точке т. е. начальное приближение Уравнение этой касательной имеет вид:

Чтобы найти точку пересечения касательной и оси абсцисс, положим Мы получим, что откуда находим абсциссу точки пересечения:

Это число можно принять за приближенное значение корня уравнения (рис. 72). Чтобы получить более точное значение корня, проведем касательную в точке с абсциссой и найдем точку ее пересечения с осью Продолжая этот процесс, получим последовательность чисел вычисляемую по формуле

Она сходится к корню I уравнения Вычисления прекращают, когда с заданной степенью точности совпадают значения

Пример 6. Найдем действительный корень уравнения с точностью до методом хорд; б) методом касательных.

Решение. Имеем:

Так как дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, то знак трехчлена при любых совпадает со знаком старшего коэффициента. Таким образом, при любом имеем т. е. функция строго возрастает на всей числовой прямой. В таком случае заданное уравнение может иметь не более одного действительного корня.

Далее, заметим, что Значит, наше уравнение имеет единственный корень Е, лежащий в интервале

а) По методу хорд, воспользовавшись формулой (10), получим первое приближение:

Так как

Воспользовавшись формулой (11), находим второе приближение:

Так как то

Процесс сходится весьма медленно. Попробуем сузить интервал, учитывая, что значение функции в точке значительно меньше по абсолютной величине, чем Имеем Следовательно,

Применяя к интервалу метод хорд, получим новое приближение:

Дальнейшие вычисления по методу хорд дают Так как то с требуемой точностью можно считать, что

б) Для метода касательных в качестве начального приближения выбираем так как в интервале первая производная также сохраняет знак в интервале так что метод касательных применить можно.

Первое приближение:

Второе приближение:

Третье приближение:

Нужная точность достигнута уже на третьем шаге. Здесь сходимость процесса более быстрая, чем по методу хорд.

Вопросы для самопроверки

1. Опишите процесс решения уравнения методом хорд. Дайте геометрическое истолкование.

2. Опишите процесс решения уравнения методом касательных. Дайте геометрическое истолкование. Каким условиям должна удовлетворять функция , чтобы можно было применить метод касательных?

Упражнения

(см. скан)