3. Применения производной в физических задачах. Механический смысл производной.

Пусть точка движется вдоль некоторой прямой. Выберем на этой прямой начало отсчета, положительное направление и единицу измерения. Тогда положение точки на прямой будет определяться ее координатой. Зависимость называется законом движения точки. Средней скоростью движения в физике называют отношение перемещения к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло. Если, скажем, точка за промежуток времени от до прошла путь от А до В и вернулась обратно в А, то перемещение равно 0 и средняя скорость равна 0. В общем случае имеем:

или

Если положить то средняя скорость за промежуток времени окажется равной:

Мгновенной скоростью в момент времени называют предел

средней скорости движения за промежуток когда Значит,

Так как то мгновенная скорость прямолинейно движущейся точки есть производная координаты (пути) по времени . В этом состоит механический смысл производной.

Дифференциал координаты равен Это путь, который прошло бы тело за промежуток времени , если бы его скорость была постоянной и равнялась мгновенной скорости в момент времени

Пример 4. Найдем мгновенную скорость при свободном падении.

Решение. Закон свободного падения имеет вид Согласно сказанному выше, Значит, нужно найти производную функции

Дадим аргументу приращение Тогда

Главная линейная часть приращения имеет вид а потому Итак,

Пример 5. Пусть — количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время Найдем силу тока в данный момент времени

Решение. Если — промежуток времени, а — количество электричества, протекшее через поперечное сечение проводника за время то — сила тока за промежуток времени

За силу тока в момент времени принимается Таким образом,

т. е. сила тока есть производная от количества электричества по времени.

Пример 6. Пусть дан неоднородный стержень длины — масса части стержня длины (один из концов стержня принимается за начало отсчета). Найдем линейную плотность стержня в данной точке

Решение. Если масса части стержня между точками, расположенными, соответственно, на расстоянии от фиксированного конца, то средняя линейная плотность стержня на рассматриваемом участке, a - искомая линейная плотность . Таким образом,

т. е. линейная плотность стержня в данной точке есть производная массы стержня по его длине.

Рассмотренные примеры показывают, как используется производная для изучения скорости протекания неравномерных процессов. При этом само понятие скорости понимается в широком смысле. Например, плотность стержня есть скорость изменения массы части стержня как функция ее длины.

В общем случае можно сказать так: если — дифференцируемая в точке функция, то — есть средняя скорость изменения у относительно изменения на отрезке есть скорость изменения у относительно в данной точке.

Вопросы для самопроверки

1. Что называют касательной к линии?

2. Всегда ли можно провести касательную к линии в данной точке?

3. Сформулируйте необходимое и достаточное условие существования не» вертикальной касательной к графику функции в точке

4. Как вычисляется угловой коэффициент касательной к графику функции в точке

В чем состоит геометрический смысл производной?

6. В чем состоит геометрический смысл дифференциала?

7. В какюс случаях график функции в точке имеет вертикальную касательную?

8. Что называется нормалью к линии?

9. Напишите уравнения касательной и нормали к графику функции в точке

10. Как определяется угол между двумя линиями?

11. Как вычислить величину угла между двумя линиями?

12. Как определяется мгновенная скорость прямолинейного движения?

13. В чем состоит механический смысл производной, дифференциала?

14. Приведите примеры физических понятий, определяемых с помощью производной.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)