3. Теорема Лагранжа.

Проведем хорду графика функции , изображенного на рисунке 37. Из чертежа видно, что на дуге найдется точка касательная в которой к данной кривой параллельна хорде Угловые коэффициенты этой касательной и прямой равны. Но

Значит, внутри отрезка нашлась точка с, в которой выполняется равенство

Это утверждение и составляет суть теоремы Лагранжа. Дадим строгое доказательство этой теоремы, не опирающееся на наглядность.

Теорема 3 (теорема Лагранжа). Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех внутренних точках отрезка. Тогда в интервале найдется точка с в которой выполняется равенство

Доказательство. Пусть — уравнение хорды, проходящей через точки Угловой коэффициент этой прямой равен, как известно,

Рассмотрим функцию . Функция является разностью двух непрерывных функций, а

потому непрерывна на отрезке Аналогично доказывается, что она дифференцируема в каждой внутренней точке отрезка. Наконец, при и при значения совпадают, а потому функция обращается в 0:

Итак, вспомогательная функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, и, следовательно, в интервале найдется, по крайней мере, одна точка с, производная в которой будет равна

При получаем:

откуда

Теорема доказана.

Заметим, что если то из равенства (1) следует Это значит, что теорема Ролля есть частный случай теоремы Лагранжа. Геометрическая иллюстрация представлена на рисунке 38.

Неудобно, что в формуле (1) фигурирует неизвестное число с. Тем не менее, как увидим позднее, это не является препятствием для многочисленных применений этой формулы в математическом анализе.

Пример 3. Проверим, применима ли теорема Лагранжа к функции на отрезке [0; 2]. Если окажется, что теорема применима, то найдем точку с, в которой выполняется равенство (1).

Решение. Функция непрерывна на отрезке [0; 2] и дифференцируема в интервале Значит, условия теоремы Лагранжа выполнены. Из формулы (1) получаем:

В данном случае

Рис. 38

Подставим полученные значения в формулу (2) Лагранжа:

Из этого уравнения находим (второй корень уравнения не годится, так как это число не принадлежит отрезку

Пример 4. Докажем неравенство где

Решение. Функция на отрезке удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа. Так как применив к функции на отрезке формулу (2), получим:

Так как то Значит, откуда получаем: