§ 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ

Мы видели, что понятие производной находит приложения в разнообразных задачах по геометрии и физике. Однако класс функций, которые мы йока умеем дифференцировать, крайне узок. Чтобы расширить его, выведем правила дифференцирования суммы, произведения, частного.

Прежде чем переходить к формулировке и доказательству соответствующих теорем, сделаем следующее замечание. Пусть дана функция Приращение функции в точке имеет, как мы знаем, вид:

Отсюда находим:

Полученное равенство будем использовать при доказательстве теорем настоящего параграфа. Условимся выбирать приращение Да: таким, чтобы .

1. Дифференцирование линейной комбинации конечного числа дифференцируемых функций.

Теорема 1. Пусть функции , дифференцируемы в точке X. Тогда функция дифференцируема в точке причем

Короче: сумма двух дифференцируемых функций дифференцируема, причем производная суммы равна сумме производных.

Доказательство. Дадим приращение Тогда функции получат соответственно приращения а для функции у будем иметь:

Итак,

Разделим обе части равенства (1) на

Пусть стремится к 0. Так как по условию — дифференцируемые функции, то существуют . В таком случае существует и причем

Но существование означает дифференцируемость функции в точке Так как

Теорема доказана.

Получим выражение для дифференциала суммы:

Тем самым получено следующее правило.

Правило 1. Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций, а дифференциал суммы равен сумме дифференциалов.

Теорема 2. Если функция , дифференцируема в точке , то функция где — действительное число, также дифференцируема в точке причем

Доказательство. Дадим приращение Тогда функция и получит приращение , а для функции у будем иметь:

Итак,

Разделим обе части равенства (2) на

Пусть стремится к 0. Так как по условию — дифференцируемая функция, то существует Тогда существует и причем

Дифференцируемость функции в точке доказана.

Так как то

Теорема доказана.

Отметим, что

Тем самым получено следующее правило.

Правило 2. Постоянный множитель можно вынести за знак производной и за знак дифференциала.

Непосредственным следствием (и обобщением) первых двух правил является правило 3.

Правило 3. Производная (дифференциал) линейной комбинации конечного числа дифференцируемых функций равна (равен) такой же линейной комбинации производных (дифференциалов) этих функций:

Мы установили дифференцируемость линейной комбинации конечного числа дифференцируемых функций. Это позволяет сделать следующий вывод: класс функций, дифференцируемых на множестве X (т. е. дифференцируемых в каждой точке множества X), образует линейное пространство.

Рассмотрим несколько примеров вычисления производных с помощью полученных правил и выведенной ранее формулы

Пример 1. Найдем производную функции

Решение. По правилу 3 имеем: Так как то окончательно получаем:

Пр имер 2. Найдем производную функции

Решение. Имеем Так как то получаем:

Пример 3. Объем шара есть функция радиуса. Докажем, что производная объема шара по радиусу равна площади шаровой поверхности.

Решение. Имеем: Тогда

Но площадь поверхности шара радиуса вычисляется по формуле Итак,

Из последней формулы получаем Это равенство имеет простой геометрический смысл: если радиус шара увеличить на то объем шара увеличится на А У, причем приращение объема примерно равно дифференциалу объема. Его можно вычислить, умножив площадь шаровой поверхности на величину приращения радиуса, т. е. на толщину добавленного слоя.