3. Связь между различными видами уравнений линий.

Мы видели, что окружность можно задать и уравнением вида и параметрическими уравнениями

Рис. 89

Рис. 90

Рис. 91

Рассмотрим в общем виде переход от одного вида задания кривых к другому. Пусть кривая задана параметрическими уравнениями

Если на отрезке функция не только непрерывна, но и строго монотонна (в частности, если эта функция имеет положительную производную во всех внутренних точках данного отрезка), то уравнение можно решить относительно Подставляя это значение в уравнение получаем явное задание функции

В этом случае кривая Г является графиком функции Точно так же если — строго монотонная функция, то кривая Г является графиком функции вида

Чаще всего отрезок можно разбить на конечное число отрезков, на каждом из которых функция или функция строго монотонна. Тем самым кривая Г разбивается на конечное число простых дуг.

Обратно, если задано уравнение кривой вида то, полагая получаем параметрические уравнения

этой кривой. Переход к параметрическим уравнениям позволяет упростить выражение функции (например, избавиться от иррациональностей).

Пример 3. Найдем параметрические уравнения кривой положив

Решение. Имеем:

Значит, искомые параметрические уравнения имеют вид:

Пример 4. Исключим параметр из параметрических уравнений кривой:

Решение. Имеем: Тогда или

Пример 5. Кривая задана параметрическими уравнениями

Построим эту кривую и найдем ее задание в виде уравнения с двумя переменными: х и у.

Решение. Давая различные значения, получим соответствующие им значения декартовых координат х и у:

График изображен на рисунке 92.

Чтобы исключить параметр выполним следующие преобразования уравнений (5):

откуда

Кривая, изображенная на рисунке 92, называется астроидой (от латинского слова «астра» — звезда).