§ 8. КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ

1. Примеры параметрического задания кривых.

График непрерывной на функции представляет собой линию на плоскости. Однако не все линии являются графиками функций — для этого необходимо, чтобы на каждой прямой, параллельной оси ординат, лежало не более одной точки этой линии. Так, например, окружность радиуса с центром в начале координат не является графиком какой-либо функции. Для любой точки такой окружности выполняется соотношение Из него следует, что для точек верхней полуокружности имеем а для точек нижней полуокружности Таким образом, эта окружность является объединением графиков двух различных функций. Многие другие линии тоже могут быть заданы уравнениями вида (например, уравнение эллипса имеет вид — Такие уравнения линий будут рассмотрены в разделе функций нескольких переменных.

В этом параграфе мы рассмотрим способ задания линий на плоскости, при котором обе координаты точки кривой выражаются через третью переменную, называемую параметром. Такое задание линии имеет наглядный механический смысл. Представим себе точку М, движущуюся по плоскости. Чтобы задать закон движения этой точки, достаточно указать в каждый момент времени значения координат этой точки. Мы получим тогда две функции: Если движение происходит в течение промежутка времени а то эти функции заданы на отрезке

Задание функций

однозначно определяет движение точки и тем самым ее траекторию, т. е. линию Г, по которой движется точка. Поэтому эти функции можно рассматривать как уравнения линии Г. Такие уравнения называют параметрическими уравнениями линии Г. Очевидно, что если обе функции непрерывны на отрезке , то и движение точки происходит непрерывно. Это значит, что для любого значения имеем:

что расстояние между точками стремится к нулю, когда стремится к нулю;

В некоторых случаях имеет иной смысл, например может быть углом и т. д. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. Выведем параметрические уравнения окружности радиуса с центром в начале координат.

Рис. 84

Рис. 85

Решение. Мы знаем, что координаты каждой точки М окружности радиуса с центром в начале координат удовлетворяют уравнению Обозначим через угол между осью абсцисс и радиусом (рис. 84). Тогда имеем:

Это и есть параметрические уравнения окружности. Заметим, что эллипс получается из окружности сжатием к оси абсцисс. Поэтому параметрические уравнения эллипса с полуосями а и имеют вид:

Геометрический смысл Параметра виден из рисунка 85.

Пример 2. Выведем параметрические уравнения кривой, описываемой точкой окружности радиуса которая катится без скольжения по прямой. Эту кривую называют циклоидой. Она изображена на рисунке 86.

Решение. Будем считать, что в начальный момент времени точка, описывающая циклоиду, находилась в начале координат, и примем за параметр угол, на который поворачивается радиус (рис. 87), т. е. угол При этом, поскольку окружность катится без скольжения, длина дуги равна длине отрезка Но длина дуги равна и потому Так как а абсцисса точки М равна то получаем, что

Точно так же определяем, что

Рис. 86

Рис. 87

Таким образом, параметрические уравнения циклоиды имеют вид:

В этих уравнениях параметр меняется от Циклоида состоит из бесконечного множества арок. Чтобы получить уравнения одной арки, соединяющей точки 0 и Л, следует ограничить изменение параметра отрезком