8. Построение кривых, заданных полярными уравнениями.

Построение линий, заданных полярным уравнением сводится к построению линии, заданной параметрическими уравнениями

Но во многих случаях проще непосредственно исследовать уравнение и строить линию на основании этого исследования. При этом надо иметь в виду следующие замечания:

1) Если то кривая симметрична относительно полярной оси (т. е. вместе с каждой точкой она содержит точку ).

2) Если то кривая симметрична относительно полюса.

3) Если то кривая симметрична относительно прямой проходящей через полюс.

4) Если то кривая замкнута.

5) Если для некоторого натурального то кривая состоит из частей, получаемых друг из друга поворотами на углы вида . В этом случае достаточно построить кривую для угла

6) Если причем в промежутке функция всюду определена и не обращается в нуль, то кривая для угла имеет вид лепестка.

Пример 9. Построим кривую

Решение. Так как

то кривая симметрична относительно полюса и полярной оси. Поэтому достаточно построить кривую для угла Так как при имеем то кривая для данного угла имеет вид лепестка. Так как то этот лепесток симметричен относительно прямой

Наконец, принимает наибольшее значение, если этим данным строим кривую — четырехлепестковую розу (см. рис. 90).

Вопросы для самопроверки

1. Что означает выражение «кривая задана параметрическими уравнениями»?

2. Напишите параметрические уравнения окружности, эллипса.

3. Что такое циклоида?

4. Что такое путь? Что такое точка самопересечения пути?

5. Какие два пути называются геометрически эквивалентными?

6. Что такое жорданова кривая?

7. Какая жорданова кривая называется замкнутой?

8. Как перейти от параметрического задания кривой к явному заданию? Как от уравнения перейти к параметрическим уравнениям?

9. Как вычисляется первая производная параметрически заданной функции? Как вычисляется вторая производная?

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)