§ 5. Методы полиномиального и кусочно-полиномиального приближений

Итак, с помощью метода упорядоченной минимизации риска может быть получена последовательность приближений, сходящаяся с ростом числа измерений к искомому решению операторного уравнения.

Однако сходимость гарантируется лишь при условии, что приближения ищутся в виде разложений по собственным функциям оператора Отыскание же собственных функций оператора — задача не всегда простая. Поэтому хотелось бы заменить разложение решения по собственным функциям оператора разложением по другой системе функций.

В этом параграфе мы рассмотрим два типа приближений — полиномиальные и кусочно-полиномиальные.

Основное свойство полиномиальных приближений, сформулированное в теореме Вейерштрасса, состоит в том, что любая непрерывная на отрезке функция может быть сколь угодно точно приближена в равномерной метрике полиномом. В этой книге в качестве приближения к функции выбирается функция, минимизирующая в функционал

Возникает вопрос: для всякой ли непрерывной функции последовательность

полиномов степени каждый из которых доставляет минимум (9.63) в классе полиномов соответствующей степени, сходится к в равномерной метрике?

Оказывается, нет, не для всякой. Известна теорема Лозинского—Харшиладзе [30], согласно которой существует такая непрерывная функция к которой последовательность (9.64) равномерно не сходится.

Таким образом, идея минимизации среднеквадратичного уклонения для получения равномерного полиномиального приближения непрерывной функции оказывается неприемлемой. Из этого факта немедленно вытекает, что получение равномерного приближения к регрессии путем минимизации среднего риска невозможно, если приближение ведется в классе полиномов.

Возможность построения равномерного приближения к регрессии в схеме минимизации среднего риска связана с кусочно-полиномиальными приближениями или, как их еще называют, сплайн-приближениями.

Рассмотрим кусочно-полиномиальные приближения функции на отрезке Разобьем отрезок на частей точками На каждом интервале будем приближать функцию полиномом фиксированной степени Таким образом, функция приближается с помощью кусков полиномов (каждый для своего интервала). Полиномы выбираются так, чтобы в точках полученное приближение было непрерывно вместе со своей производной. Назовем такое

кусочно-полиномиальное приближение сплайнами степени сопряженными на сетке Будем считать, что точки сопряжения фиксированы и заданы равномерно на

Обозначим через V% класс сплайнов степени сопряжениями, заданный на равномерной сетке, а через сплайн, доставляющий минимум величине эмпирического функционала

Пусть теперь определено условие, связывающее число сопряжений с объемом выборки а именно Рассмотрим последовательность сплайнов

степени имеющих (1), сопряжений и минимизирующих эмпирический риск на выборке (выборка образована случайно и независимо согласно плотности .

Справедлива

Теорема 9.4 (Михальский). Пусть регрессия определяется непрерывной функцией Тогда последовательность (9.66) с вероятностью единица сходится в равномерной метрике к регрессии если только плотность абсолютно непрерывна относительно равномерной и выполнены условия

Если же, кроме того, будут выполнены более сильные условия

а регрессия непрерывна вместе со своими производными, то последовательность

составленная из производных сплайнов (9.66), сходится с вероятностью единица в равномерной метрике к функции являющейся производной регрессии.

Замечание. Из теоремы следует, что выполнение условия (9.67) гарантирует восстановление в классе сплайнов непрерывной производной функции по значениям этой функции, измеренным в случайно выбранных точках достаточно большое число), т. е. отыскание приближенного решения интегральногс уравнения

по измерениям

Ниже при интерпретации результатов экспериментов мы будем искать решение в разложении по сплайнам.