§ 8. Класс плотностей, образованных смесью плотностей

Рассмотрим класс Н плотностей, образованных смесью

некоторой фиксированной симметричной относительно начала координат плотности и любой симметричной относительно начала координат плотности Смесь составляется в пропорции 1—8 и 8. Для таких классов плотностей справедлива следующая теорема.

Теорема 4.1 (Хубер). Пусть дважды непрерывно дифференцируемая выпуклая функция. Тогда в классе Н существует устойчивая плотность

концы интервала на котором монотонная (вследствие выпуклости функция ограничена по модулю константой определяемой из условия нормировки плотности

Доказательство. Для доказательства этой теоремы, так же как и при установлении устойчивости законов Гаусса и Лапласа, надо показать, что для функций класса (4.50) справедливо

Справедливость оценки

как уже указывалось, следует из неравенства Шварца (4.40). Поэтому для доказательства теоремы достаточно показать справедливость оценки

для любой функции

Представим плотность в виде смеси фиксированной плотности и плотности

Выпишем плотность учитывая (4.51):

Нетрудно убедиться, что есть плотность. Действительно, так как по условию теоремы выпуклая функция и, следовательно, целиком лежит над касательной

Неравенство же (4.53) эквивалентно утверждению

Рассмотрим неравенство с

Убедимся, что правая часть этого неравенства есть точная верхняя грань выражения, стоящего слева, для произвольных симметричных плотностей Для этого заметим, что функция равна

где, согласно условию теоремы а функция равна

Таким образом, для того чтобы максимизировать левую часть неравенства, необходимо выбрать такую плотность которая сосредоточена на отрезках Такая плотность одновременно обеспечивает максимум числителю и минимум знаменателю выражения, стоящего в левой части неравенства. Значение же выражения, стоящего слева, при этом будет в точности равно значению правой части неравенства. Плотность (4.52) как

раз и принадлежит плотностям, сосредоточенным на отрезках Теорема доказана.

Эта теорема замечательна тем, что позволяет конструировать различные устойчивые плотности. В частности, если выбрать в качестве плотность нормального закона

и рассмотреть класс плотностей

то, согласно теореме, устойчивой в классе будет плотность

где величина определяется из условия нормировки

Этот закон является «промежуточным» между законом Гаусса и законом Лапласа. На отрезке он с точностью до нормировочного множителя совпадает с законом Гаусса, а на отрезках с законом Лапласа.