Главная > Восстановление зависимостей по эмпирическим данным
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 2. Построение разделяющих гиперплоскостей

Основой создания алгоритмов обучения распознаванию образов в классе линейных решающих правил являются алгоритмы построения гиперплоскости, разделяющей два конечных множества векторов: множество векторов

и множество векторов

Задача сводится к отысканию вектора для которого выполняются неравенства

Очевидно, если существует вектор для которого выполняются неравенства (11.8), то имеется множество векторов удовлетворяющих (11.8). Будем искать среди них минимальный по модулю вектор. Этот вектор был назван обобщенным портретом [12].

Минимизация квадратичной формы

при ограничениях (11.8) является задачей квадратичного программирования.

Необходимые и достаточные условия минимума (11.9) при ограничениях (11.8) определяются теоремой Куна — Таккера.

Теорема 11.1 (Кун - Таккер). Пусть заданы дифференцируемая выпуклая функция и линейные функции Пусть доставляет минимум при ограничениях

Тогда существуют такие удовлетворяющие условиям

что справедливо равенство

- знак градиента).

И обратно, если для некоторой точки выполняются условия (11.10) и можно найти числа удовлетворяющие условиям (11.11) и (11.12), то в точке достигается условный минимум при ограничениях (11.10).

Доказательство теоремы Куна — Таккера приводится во всех руководствах по выпуклому программированию (например, [65]).

Применим теорему Куна — Таккера для нашего случая минимизации (11.9) при ограничениях (11.8).

Теорема 11.2. Минимальный по модулю вектор , удовлетворяющий (11.8) (обобщенный портрет), представим в виде

причем

Среди всех векторов удовлетворяющих (11.8), вектор представимый в виде (11.13), (11.14), является минимальным по модулю.

Доказательство теоремы немедленно следует из теоремы Куна — Таккера.

Назовем векторы для которых выполняются условия

крайними векторами. Согласно теореме 11.2 обобщенный портрет разложим с ненулевыми весами лишь по системе крайних векторов.

Рассмотрим теперь двойственную задачу, решение которой эквивалентно построению обобщенного портрета. Введем

пространство параметров и рассмотрим функцию

где вектор есть

Покажем, что точка максимума функции в положительном квадранте а определяет обобщенный портрет.

Действительно, необходимыми и достаточными условиями максимума функции в точке являются условия

Выпишем эти условия, обозначив

Получим

Условия (11.17) могут быть переписаны в виде неравенств

и равенств

Согласно же утверждению теоремы 11.2 эти условия определяют обобщенный портрет.

Итак, задача построения гиперплоскости, разделяющей два множества векторов, свелась к отысканию максимума функции в положительном квадранте.

Ниже мы рассмотрим методы минимизации квадратичной формы в положительном квадранте, но прежде установим следующий важный факт.

Теорема 11.3. Если разделяющая гиперплоскость существует (существует вектор для которого выполняются неравенства (11.18)), то максимум функции в положительном квадранте равен половине квадрата модуля обобщенного портрета

Доказательство. Действительно, согласно теореме 11.2

Поэтому

и, учитывая (11.15), получаем

Таким образом,

Теорема доказана.

Из теоремы 11.3 вытекает важное для построения алгоритмов распознавания следствие.

Следствие. Если среди крайних векторов обобщенного портрета есть векторы обоих классов, то имеет место оценка

где расстояние между проекциями множеств на направление обобщгнного портрета. При этом равенство в оценке (11.20) достигается в точке

Доказательство. В силу теоремы 11.3

Далее, в силу условия следствия найдутся такие векторы множества, что

Поэтому расстояние между проекциями векторов, для которых выполнялось (11.21), равно

Учитывая, что получаем неравенство (11.20).

Это следствие используется для построения критерия неразделимости векторов. В самом деле, будем считать, что два конечных множества векторов не могут быть разделимы гиперплоскостью, если расстояние между проекциями на направление обобщенного портрета меньше А это значит, что не существует разделимости, если найдутся такие что

Таким образом, при построении обобщенного портрета проблема состоит в том, чтобы найти максимум отрицательно определенной квадратичной формы в положительном квадранте или установить, что максимум функции превосходит величину Последнее означает, что построение обобщенного портрета невозможно.

1
Оглавление
email@scask.ru