§ П2. Задачи, корректные по Тихонову

Задачу решения операторного уравнения

называют корректной по Тихонову на множестве а само множество — ее множеством (классом) корректности, если:

а) точное решение задачи существует и принадлежит

б) принадлежащее решение единственно для любого

в) принадлежащие множеству решения устойчивы относительно

При понятие корректности по

Тихонову совпадает с понятием корректности по Адамару. Смысл определения корректности по Тихонову заключается в том, что корректность может быть достигнута за счет сужения рассматриваемого множества решений до класса корректности

Следующая лемма устанавливает, что если множество решений сужено до компакта то оно образует класс корректности.

Лемма. Если на компакте задан непрерывный взаимно однозначный оператор то обратный оператор непрерывен на множестве

Доказательство. Выберем произвольный элемент и произвольную сходящуюся к нему последовательность

Требуется доказать сходимость

Так как а компакт, то последовательность имеет предельные точки, принадлежащие Пусть - такая предельная точка. Поскольку предельная точка, существует сходящаяся к ней последовательность которой соответствует последовательность сходящаяся к Поэтому, переходя к пределу в равенстве

и пользуясь непрерывностью оператора получим

В силу однозначности оператора имеем откуда следует единственность предельной точки последовательности Остается проверить, что к сходится вся последовательность Действительно, если бы к сходилась не вся последовательность, то нашлась бы окрестность точки вне которой имеется бесконечное число членов последовательности Ввиду компактности множества М у этой последовательности есть предельная точка которая по доказанному выше обязана совпадать с а это противоречит допущению о том, что выбранная последовательность лежит вне окрестности точки Лемма доказана.

Таким образом, корректность по Тихонову на компакте М вытекает из одних условий существования и единственности решения операторного уравнения: третье условие — устойчивость решения операторного уравнения — выполняется автоматически.

Этот факт, по существу, и лежит в основе всех конструктивных идей решения некорректных операторных уравнений. Рассмотрим некоторые из них.