Основные утверждения главы II

1. Решение задачи минимизации среднего риска

по ограниченному множеству эмпирических данных

связано с аппроксимацией функционала эмпирическим функционалом

и последующей его минимизацией.

2. Однако получение гарантий того, что функция, минимизирующая будет доставлять величине среднего риска значение, близкое к минимальному, возможно лишь при наличии определенной априорной информации.

В качестве такой априорной информации может быть использована либо абсолютная оценка величины потерь табс,

либо оценка относительной величины дисперсии потерь

В задаче распознавания образов табс задачах же восстановления регрессии и интерпретации результатов косвенных экспериментов используются сведения об относительной оценке тотн. Эта информация значительно меньше, чем обычно принятая виде распределения случайных величин индуцированных плотностью распределения вероятностей .

3. Конструирование эмпирического функционала основано на аппроксимации плотности входящей в функционал среднего риска эмпирической плотностью и использовании вместо

Существуют две различные причины, в силу которых минимум оказывается близким к минимуму

Первая причина состоит в том, что плотность близка к Вторая — в том, что имеет место равномерная сходимость эмпирических средних к математическим ожиданиям:

4. Восстановление плотности распределения вероятностей, вообще говоря, является некорректно поставленной задачей. Поэтому гарантировать успех восстановления плотности по выборке можно лишь, когда имеется достаточно большая априорная информация об искомой плотности. Например, когда плотность распределения вероятностей известна с точностью до параметров. Тогда можног восстановив плотностьг использовать функционал для отыскания минимума среднего риска. В иных случаях задача минимизации среднего риска связана с проблемой равномерной сходимости эмпирических средних к математическим ожиданиям.