ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

§ П1. Задача решения операторного уравнения

Говорят, что два множества элементов, множество М и множество связаны функциональной зависимостью, если каждому элементу может быть поставлен в однозначное соответствие элемент

Эта функциональная зависимость называется функцией, если и множества чисел, функционалом, если М — множество Функций, множество чисел и оператором, если -множество функций и также множество функций.

Каждый оператор А однозначно отображает элементы множества М в элементы множества Этот факт будем записывать равенством

Среди множества операторов выделим такие, которые осуществляют взаимно однозначное отображение Для них можно рассматривать задачу решения операторного уравнения

как задачу отыскания в такого элемента которому в соответствует элемент

Для операторов, осуществляющих взаимно однозначное отображение элементов в и функции существует единственное решение операторного уравнения

Однако найти способ решения операторного уравнения столь общей природы — задача безнадежная, Поэтому

исследование операторных уравнений будем проводить лишь для случая непрерывных операторов.

Пусть элементы принадлежат метрическому пространству с метрикой а элементы принадлежат, вообще говоря, другому метрическому пространству с метрикой Оператор А называется непрерывным, если близкие (в метрике элементы в он отображает в близкие (в метрике элементы в Формально это означает, что для всякого 8 найдется такое что если только в выполнится неравенство

то в окажется выполненным и неравенство

Будем рассматривать операторное уравнение, заданное непрерывным оператором, осуществляющим взаимно однозначное отображение из в Решение такого операторного уравнения существует и единственно, т. е. существует обратный оператор А из в

Принципиальным оказывается вопрос, является ли обратный оператор непрерывным?

Если оператор А1 непрерывный, то близким функциям из соответствуют близкие их прообразы, т. е. решение операторного уравнения устойчиво. Если же обратный оператор не является непрерывным, то решение операторного уравнения, вообще говоря, не является устойчивым.

В последнем случае, согласно определению Адамара (см. § 5 гл. I), задача решения операторного уравнения считается некорректно поставленной.

Оказывается, что во многих важных случаях, например для вполне непрерывных операторов обратный оператор не является непрерывным, и, следовательно, задача решения соответствующего операторного уравнения является некорректно поставленной.

Определение. Говорят, что линейный оператор определенный в линейном нормированном пространстве с областью значений в линейном нормированном пространстве является вполне непрерывным, если он отображает всякое ограниченное множество пространства в

компактное множество пространства т. е. если он всякую ограниченную бесконечную в последовательность

норма в отображает в в такую последовательность

из которой может быть извлечена сходящаяся подпоследовательность

Покажем, что если пространство содержит ограниченные некомпактные множества, то оператор обратный вполне непрерывному оператору не может быть непрерывным.

В самом деле, рассмотрим в некоторое ограниченное некомпактное множество. В этом множестве выделим бесконечную последовательность никакая подпоследовательность которой не сходится. В ей соответствует бесконечная последовательность из которой может быть извлечена сходящаяся подпоследовательность Если бы оператор А 1 был непрерывным, то последовательности соответствовала бы сходящаяся последовательность

которая является подпоследовательностью в противоречии с тем, как была выбрана последовательность.

Итак, задача решения операторного уравнения, заданного вполне непрерывным оператором, является некорректно поставленной. В основном тексте книги мы ограничимся рассмотрением линейных интегральных операторов

с непрерывными ядрами в области

Операторы являются вполне непрерывными при отображении непрерывных на функций. Доказательство этого факта содержится во всех руководствах по функциональному анализу (см., например, [28]).