§ П3. Метод регуляризации
Метод регуляризации был предложен А. Н. Тихоновым в 1963 г.
Пусть необходимо решить операторное уравнение
заданное непрерывным взаимно однозначным из 
оператором 
И пусть решение 
существует.
Введем в рассмотрение непрерывный функционал 
который назовем стабилизатором и который обладает следующими тремя свойствами:
1) решение операторного уравнения принадлежит области определения 
функционала 
2) на области определения функционал 
принимает вещественные неотрицательные значения;
3) все множества
являются компактами.
Идея метода регуляризации состоит в том, чтобы найти решение 
как элемент, минимизирующий некоторый функционал, но не функционал
(такая задача была бы эквивалентна решению уравнения 
и потому тоже некорректна), а «исправленный» функционал
с параметром регуляризации 
Задача минимизации функционала 
устойчива, т. е. близким функциям 
соответствуют близкие элементы 
и минимизирующие функционалы 
Проблема состоит в том, чтобы установить, в каком соотношении должны находиться величины 
чтобы последовательность решений 
регуляризованных задач 
сходилась при 8-0 к решению операторного уравнения 
Эти соотношения устанавливает следующая теорема.
Теорема П. 1. Пусть 
метрические пространства, и пусть для 
существует решение уравнения 
Тогда, если вместо точной правой части 
уравнения 
известны приближения 
такие, что 
а значения параметра у выбираются так, что
то элементы минимизирующие функционалы 
на 
сходятся к точному решению 
при 
Доказательство теоремы использует следующий факт: для всякого фиксированного 
и любого 
существует элемент 
минимизирующий на 
функционал 
Пусть у и S удовлетворяют соотношению 
Рассмотрим последовательность элементов 
минимизирующих 
и покажем, что имеет место сходимость
По определению имеем
Учитывая, что
заключаем
Так как выполнены условия 
то все элементы ряда 
для достаточно малых 
принадлежат компакту где 
а их образы 
сходятся:
Отсюда на основании леммы заключаем, что сходятся и прообразы
что и требовалось доказать.
В гильбертовом пространстве для линейного оператора А функционал 
может быть взят равным 
И хотя множества 
при этом оказываются слабо компактными, сходимость регуляризованных решений в силу свойств гильбертова пространства, как будет показано ниже, оказывается сильной. Такой выбор регуляризующего функционала удобен еще и тем, что область его определения 
совпадает со всем пространством 
Однако в этом случае условия на параметр у более жесткие, чем в теореме 
у должно стремиться к нулю медленнее, чем 
Итак, справедлива теорема.
Теорема П.2. Пусть 
гильбертово пространство и 
Тогда при 
удовлетворяющем соотношениям 
регуляризованные элементы 
сходятся при 
к точному решению 
в метрике пространства 
Доказательство. Из геометрии гильбертовых про странств известно, что сфера 
является слабым компактом и что из свойств слабой сходимости элементов 
к элементу 
и сходимости норм 
вытекает сильная сходимость
Кроме того, из слабой сходимости 
вытекает
Используя эти свойства гильбертова пространства, докажем теорему. Для этого заметим, что для слабой сходимости в пространстве 
справедлива предыдущая теорема: 
слабо сходятся к 
при 
Поэтому, согласно 
, справедливо неравенство
С другой стороны, учитывая то, что 
и то, что 
получаем
Следовательно, имеет место сходимость норм
а это вместе с фактом существования слабой сходимости влечет в силу свойств гильбертова пространства сильную сходимость
что и требовалось доказать.
Приведенные теоремы являются центральными в теории регуляризации. С их помощью устанавливается
и проблема заключается в том, чтобы определить величину константы регуляризации 
при которой будет обеспечено наилучшее приближение к искомому решению. Для этой ситуации утверждения теорем 
где величина у определяется с точностью до константы 
и то при достаточно малых б), являются явно недостаточными.
