§ 3. Теоремы об интерпретации результатов косвенных экспериментов

Пусть А — линейный вполне непрерывный оператор, действующий из пространства в пространство — оператор, сопряженный к А. Тогда оператор будет также вполне непрерывным оператором. Пусть

полная система его собственных чисел, а

— полная ортонормированная система его собственных элементов.

Рассмотрим также оператор Он имеет ту же самую систему собственных чисел, которой соответствует полная ортонормированная система собственных элементов

Для элементов (9.10) и (9.11) выполняются равенства

Решение операторного уравнения (9.1) разложимо в ряд по системе функций (9.10)

Будем рассматривать в качестве приближения к решению (9.12) функцию

где подходящее число членов разложения (оно будет определено ниже), вектор параметров, доставляющий минимум функционалу

Оказывается, что при определенных предположениях относительно решения (9.12) существует такой закон что с ростом объема выборки получаемые приближения стремятся по вероятности к решению операторного уравнения (9.1)

Справедливы следующие две теоремы.

Теорема 9.1. Пусть существует единственное решение операторного уравнения (9.1). Тогда, если только функция удовлетворяет условиям:

то последовательность приближений с ростом I сходится по вероятности к в метрике

Потребуем дополнительно, чтобы оператор действовал из в С.

Теорема 9.2. Пусть решение операторного уравнения (9.1) таково, что выполняются условия

Тогда выполнение условий (9.15), (9.16) обеспечивает сходимость по вероятности функций в метрике С.

Таким образом, теоремы 9.1 и 9.2 утверждают, что если приближать решение операторного уравнения (9.1) разложением по конечному числу собственных функций самосопряженного оператора то при правильном (удовлетворяющем условиям выборе числа членов разложения метод минимизации эмпирического риска

(9.14) обеспечит с ростом объема выборки сходимость по вероятности получаемых решений к искомому.

Ниже мы покажем, что при определенных условиях выбор может быть осуществлен минимизацией правой части (8.49). Тем самым будет показано, что стандартная процедура метода упорядоченной минимизации риска, рассмотренная в главе VIII, приводит к построению последовательности функций, сходящейся к решению операторного уравнения (9.1).

Будем полагать, что помеха при измерении функции в правой части операторного уравнения (9.1) определяется симметричной функцией плотности вероятностей и подчиняется условию

Пусть выполнено неравенство

Неравенство (9.19) следует из (9.18), если

В этом случае

где

Из (9.19) и (9.20) следует

Оценим теперь отдельно знаменатель и числитель правой части равенства (9.21)

где обозначено

Справедлива оценка

Подставляя (9.24) в (9.23) и учитывая, что из условия следует получим

Подставляя (9.22) и (9.25) в (9.21), окончательно получим

Итак, будем полагать, что выполнено неравенство (9.19). Согласно же теореме 7.6 в этом случае с вероятностью одновременно для всех функций, разложимых по собственным векторам системы (9.11) выполнится неравенство

Для каждого объема выборки будем использовать такое число членов разложения чтобы, во-первых,

выполнилось ограничение

где любая малая величина, а, во-вторых, правая часть неравенства (9.26) достигала минимума. (Здесь появилось дополнительное условие, согласно которому число членов разложения с ростом объема выборки растет не быстрее

При таком модифицированном способе определения числа членов разложения оказывается выполненным требование (9.16) теорем 9.1 и 9.2.

Иначе говоря, справедлива

Теорема 9.3. Пусть решение операторного уравнения (9.1) удовлетворяет условию

и выполнены условия (9.19) и (9.27). Тогда с помощью упорядоченной минимизации оценки (9.26) определяется такое число членов разложения, что с вероятностью единица оказываются выполненными условия:

Итак, теоремы 9.1 и 9.2 указывают на класс алгоритмов, который обеспечивает сходимость последовательности получаемых функций к решению операторного уравнения, а теорема 9.3 утверждает, что метод упорядоченной минимизации риска, заданный с помощью оценки (9.26) на структуре, образованной системой собственных функций, принадлежит этому классу.

В § 6 будут приведены примеры, показывающие эффективность применения метода упорядоченной минимизации риска при интерпретации результатов косвенных экспериментов. Однако хотелось бы здесь отметить, что успехи применения метода при решении некорректных задач интерпретации измерений, вероятно, определяются не тем, что последовательность получаемых решений сходится к искомому решению операторного уравнения (9.1),

а тем, что для каждого конечного он определяет решение, обладающее экстремальным свойством: образ решения в доставляет гарантированный минимум величине среднего риска.