ГЛАВА IX. РЕШЕНИЕ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ИЗМЕРЕНИЙ МЕТОДОМ УПОРЯДОЧЕННОЙ МИНИМИЗАЦИИ РИСКА

§ 1. Некорректные задачи интерпретации результатов косвенных экспериментов

Пусть в классе надо восстановить функциональную зависимость (здесь принадлежит множеству И пусть ситуация такова, что нельзя непосредственно измерять значения функции но можно измерять значения другой функции связанной с искомой операторным уравнением

Оператор А осуществляет непрерывное взаимно однозначное отображение элементов пространства в элементы пространства

Пусть проведены измерения функции

Пара означает, что в точке измеренное значение функции оказалось равным у

Требуется, зная оператор А и измерения (9.2), восстановить в функцию При этом допускается, что задача решения операторного уравнения (9.1) может быть некорректно поставленной.

Восстанавливать функцию будем в ситуации, когда:

1) значения функции измеряются с аддитивной помехой

не зависящей от

2) точки в которых проводятся измерения, определяются случайно и независимо согласно некоторой не обращающейся в нуль на плотности. Ниже будем считать, что плотность равномерная.

В главе I было показано, что функция которая является прообразом в регрессии из

пространства , т. е. прообразом точки минимума функционала

совпадает с решением уравнения (9.1)

Однако найти регрессию по выборке фиксированного объема — задача нереальная. Можно надеяться лишь на то, что удастся найти функцию близкую (в метрике пространства к регрессии, и тогда за решение уравнения (9.1) можно будет принять прообраз этой функции в пространстве Такая идея, вообще говоря, не всегда приводит к успеху: несостоятельность ее заключается в том, что в случае, когда уравнение (9.1) определяет некорректно поставленную задачу, близким образам в могут (но не обязательно должны) соответствовать далекие в прообразы.

В нашем случае это означает, что не все методы минимизации риска в пространстве образов могут быть использованы для решения задачи интерпретации результатов косвенных экспериментов и что, возможно, существуют такие способы минимизации риска, которые указывают лишь на элементы пространства являющиеся образами функций, близких к искомому решению. Эти способы минимизации риска и следует применять для решения некорректных задач интерпретации измерений (конечно, если указанные способы минимизации риска вообще существуют).

Ниже мы покажем, что при определенных условиях алгоритмы упорядоченной минимизации риска могут быть использованы для решения некорректных задач измерений. Мы покажем, что с увеличением числа измерений последовательность решений, получаемых согласно методу упорядоченной минимизации риска, сходится к искомой функции