§ П4. Метод квазирешений

Определение. Говорят, что уравнение имеет на множестве а <М квазирешение если для элемента справедливо равенство

Иными словами, квазирешение - это такая точка множества образ которой является ближайшим к элементом на множестве

Понятие квазирешения было введено В. К. Ивановым. Оно обобщает понятие решения: для существования квазирешения не требуется, чтобы решение операторного уравнения принадлежало области

Справедлива

Теорема П.3. Пусть банаховы пространства, причем пространство строго выпукло, А — взаимно однозначный непрерывный линейный оператор. Тогда задача отыскания квазирешения операторного уравнения на выпуклом компакте поставлена корректно по Адамару.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы

Пусть квазирешение уравнения Очевидно, есть проекция элемента на множество Так как проекция определяется однозначно, то в силу взаимной однозначности отображения множества на множество следует единственность квазирешения

Очевидно, что оператор проектирования в Согласно лемме о непрерывности обратного отображения на компакт, оператор непрерывен на Оператор проектирования непрерывен на Поэтому непрерывный на оператор, и, следовательно, квазирешение непрерывно зависит от Теорема доказана.

Рассмотрим теперь расширяющуюся систему выпуклых компактов в пространстве

и рассмотрим для них последовательность квазирешений операторного уравнения

Справедлива

Теорема Если в условиях теоремы выбрать систему выпуклых компактов такую, что

(черта означает замыкание множества), то квазирешения будут сходиться к квазирешению при

Доказательство теоремы основано на том факте, что из непрерывности оператора и плотности множества следует, что множество также плотно Поэтому точки реализующие расстояние при стремятся к точке реализующей расстояние Остальное доказывается ссылкой на лемму о непрерывности оператора на множестве

Применим метод квазирешений для отыскания решения операторного уравнения

Пусть

— полная в ортонормированная система функций. Будем искать решение на компакте

где с — константа. Наряду с компактом рассмотрим компакт

Согласно теореме П.3 квазирешение при больших аппроксимирует решение и потому может быть принято за решение исходного уравнения.

На практике при решении некорректно поставленных задач с неточно заданной правой частью проблема состоит в том, чтобы определить компакт (размерность подпространства), в котором следует искать квазирешение.

Выбор такого компакта (определение числа членов разложения) — проблема, эквивалентная определению константы регуляризации в методе регуляризации.

В основной части книги будут рассмотрены методы определения подходящего числа членов разложения для отыскания решения некорректных задач измерений.

Подробно теория некорректных задач рассмотрена в монографии [56].