§ 12. Локальные алгоритмы восстановления значений произвольной функции

По схеме предыдущего параграфа могут быть немедленно построены локальные алгоритмы восстановления значений функции произвольной природы.

Образуем систему окрестностей векторов полной выборки,

Пусть произошло разделение множества векторов полной выборки на элементы, принадлежащие обучающей и рабочей выборкам. Рассмотрим систему окрестностей точки

Для каждого множества с помощью алгоритмов восстановления линейной функции могут быть найдены как сами значения функции, так и гарантированная оценка величины суммарного риска

где наименьшее решение неравенства

В неравенстве число элементов обучающей последовательности и рабочей выборок, принадлежащих

Выберем такую окрестность течки и такую функцию для которой оценка (10.57) минимальна. Пусть число элементов рабочей выборки из этой окрестности.

Для найденных с помощью функции значений из этой окрестности с вероятностью справедливо неравенство

В выражении (10.59) суммирование ведется по тем векторам х рабочей выборки, которые принадлежат оптимальной окрестности; у — истинные (но неизвестные нам) значения функциональной зависимости в точках рабочей выборки, вычисленные значения.

Итак, для каждой точки (а всего их по числу векторов полной выборки) с вероятностью Справедливо неравенство (10.59), Поэтому с вероятностью

выполнятся одновременно все неравенств

Рассмотрим допустимое множество решений системы (10.60). С вероятностью это множество непусто. Выберем в качестве ответа такое решение У, которое наименее удалено от самой далекой точки в (минимаксное решение), т. е. такой -мерный вектор У, для которого справедливо