§ 8. Замечания о теории равномерной сходимости
Итак, мы построили теорию равномерной сходимости средних к их математическим ожиданиям. Формально теория строилась для квадратичной функции потерь.
Однако полученные результаты справедливы и для функций потерь общей природы.
Ниже мы сформулируем основные утверждения теории равномерного уклонения эмпирических оценок от средних в общей постановке.
Доказательство этих утверждений тождественно доказательствам аналогичных теорем, рассмотренных выше: Пусть 
параметрическое семейство положительных функций, удовлетворяющих следующим условиям:
1) при любом фиксированном значении параметра 
функции 
измеримы по z;
2) множество функций 
имеет конечную емкость 
(характеристические функции 
имеют емкость К).
Тогда справедливы следующие утверждения о скорости равномерной сходимости эмпирических средних:
построенных по выборке 
к их математическим ожиданиям:
Утверждение 1. Если для функций 
существует функционал
то при 
справедливо неравенство
Утверждение 2. Если для функций 
существует второй момент
то справедливо неравенство
Утверждение 3. Если для функций 
существует 
момент 
то при 
справедливо неравенство
где
Утверждение 4. Если окажется выполненным условие
то при 
с вероятностью 
одновременно для всех а будет выполнено неравенство
Если же выполнится условие
то при 
с вероятностью 
одновременно для всех а будет выполнено неравенство
где
В главах VIII и IX мы используем построенную теорию равномерной сходимости для конструирования экстремальных алгоритмов восстановления зависимостей в условиях ограниченной выборки, а пока лишь отметим, что если только выполнено условие (7.15) и емкость класса функций 
ограничена, то в соответствии с построенной теорией метод минимизации эмпирического риска при достаточном объеме выборки приводит к отысканию
функции, близкой к наилучшей в классе. Действительно, в этом случае знаменатель в оценках (7.47), (7.48) близок к единице, и величину среднего риска определяет величина эмпирического риска.
