ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ IX. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

Пусть дано операторное уравнение

заданное непрерывным оператором осуществляющим взаимно однозначное отображение элементов метрического пространства в элементы метрического пространства Пусть функционал такой, что:

1) решение уравнения принадлежит области определения функционала

2) функционал принимает в вещественные неотрицательные значения;

3) множества являются компактами.

Рассмотрим случайные функции и элементы, минимизирующие функционал

Пусть при

В этих условиях справедливы следующие две теоремы, которые являются стохастическим аналогом теорем А. Н. Тихонова (см. приложение к гл. I, теоремы

Теорема Для любых положительных найдется такое число что для всех выполнятся неравенства

Теорема Пусть гильбертово пространство, А — линейный оператор, тогда для всякого найдется такой номер что при всех будут

выполнены неравенства

Доказательство теоремы П. 1. По определению для любого справедлива цепочка неравенств

Иначе говоря, справедливо

Кроме того, очевидно,

Используя получим неравенства

Далее, для любых справедливо равенство

Пусть теперь выполнится условие

Тогда из следует, что справедливо неравенство принадлежит компакту. Согласно же лемме о непрерывности обратного оператора А на компакте (приложение к гл. I) получаем, что найдется

такое , что как только выполнится неравенство окажется выполненным неравенство

Отсюда следует, что для достаточно больших

Заметим теперь, что, согласно в области

выполняется неравенство

Так как при то, каково бы ни было начиная с некоторого для всех выполнится равенство

А так как справедливо то для выполнится равенство

Таким образом, из получим, что для любого найдется такое что при выполнится неравенство

а следовательно, и неравенство

Учитывая, что и вводя обозначения из получим утверждение теоремы

Теорема доказана.

Доказательство теоремы

1. Любой замкнутый ограниченный шар гильбертова пространства (т. е. множество векторов вида: является слабо компактным.

Поэтому относительно слабой компактности в пространстве мы находимся в условиях теоремы 1. Следовательно, для любых положительных найдется такой номер что при

где произвольный непрерывный линейный функционал, например проекция на элемент

2. Согласно определению нормы в гильбертовом пространстве имеем

Воспользовавшись неравенством

из получаем

Для оценки первого слагаемого правой части воспользуемся неравенством где учтем, что Получаем

Таким образом,

Второе слагаемое оценим с помощью положив

Объединяя оценки , получим утверждение теоремы: